Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：，其通徑（過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段）長(zhǎng)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）本題是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且只要求一個(gè)參數(shù)的值，題中已知通徑長(zhǎng)，因此解題關(guān)鍵是把通徑長(zhǎng)用表示出來(lái)，只要把通徑端點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得通徑長(zhǎng)為即可；（2）本小題是直線與橢圓相交的計(jì)算問(wèn)題，一般方法是相交弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，把直線方程代入橢圓方程，再利用韋達(dá)定理表示出，另外計(jì)算出

，它是常數(shù)與無(wú)關(guān)，則有，從而求得，還要注意驗(yàn)證當(dāng)軸時(shí)，也有.

試題解析：（1）

（2）存在，，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：

代入得

當(dāng)時(shí)，即，

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，

， ．

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.