Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，點P在底面ABCD上的射影為A，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，E為棱AD的中點，M為棱PA的中點．
（1）求證：BM∥平面PCD；
（2）若∠ADP=45°，求二面角A-PC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）法一：取PD的中點N，連接MN，CN．證明BM∥CN，然后證明BM∥平面PCD．
（法二：連接EM，BE．通過證明平面BEM∥平面PCD，然后證明BM∥平面PCD）
（2）以A為原點，以$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向分別為x軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz求出相關點的坐標，求出平面PAC的一個法向量，平面PCE的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A-PC-E的余弦函數(shù)值．

解答 解：（1）證明：法一：取PD的中點N，連接MN，CN．
在△PAD中，N、M分別為棱PD、PA的中點∴$MN∥\frac{1}{2}AD$
∵$BC∥\frac{1}{2}AD$∴四邊形BCNM是平行四邊形∴BM∥CN
∵BM?平面PCD，CN?平面PCD∴BM∥平面PCD…（5分）
（法二：連接EM，BE．
在△PAD中，E、M分別為棱AD、PA的中點∴MN∥PD
∵AD∥BC，$BC=CD=\frac{1}{2}AD=1$
∴四邊形BCDE是平行四邊形∴BE∥CD∵BE∩ME=E，MN∥PD，BE∥CD
∴平面BEM∥平面PCD∵BM?平面BEM∴BM∥平面PCD）
（2）以A為原點，以$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向分別為x軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A-xyz…（6分）
則A（0，0，0），C（2，1，0），E（1，0，0）．
∵點P在底面ABCD上的射影為A
∴PA⊥平面ABCD
∵∠ADP=45°∴PA=AD=2
∴P（0，0，2）
∴$\overrightarrow{PE}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{EC}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$…
..（7分）
設平面PAC的一個法向量$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
則$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 2a+b-2c=0\end{array}\right.$
設a=1，則$\overrightarrow m=（1，-2，0）$…..（9分）
設平面PCE的一個法向量為$\vec n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}x-2z=0\\ x+y=0\end{array}\right.$，
設x=2，則$\overrightarrow n=（2，-2，1）$…（10分）
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…..（11分）
由圖知：二面角A-PC-E是銳二面角，設其平面角為θ，則
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．