Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線(xiàn)TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF²－PB²＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2) 設(shè)x₁＝2，x₂＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)t＝9，求證：直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))．

 

Answer 1

 (1) 解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF²－PB²＝4，得(x－2)²＋y²－[(x－3)²＋y²]＝4，化簡(jiǎn)得x＝，故所求點(diǎn)P的軌跡為直線(xiàn)x＝.

(2) 解：將x₁＝2，x₂＝分別代入橢圓方程，以及y₁>0，y₂<0得.直線(xiàn)MTA的方程為，即y＝x＋1.直線(xiàn)NTB的方程為，即y＝x－.聯(lián)立方程組，解得所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為.

(3) 證明：點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9，m)，直線(xiàn)MTA的方程為，即y＝(x＋3)．直線(xiàn)NTB的方程為，即y＝(x－3)．

分別與橢圓＋＝1聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到x₁≠－3，x₂≠3，解得．

(證法1)當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，直線(xiàn)MN的方程為令y＝0，解得x＝1，此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D(1，0)；當(dāng)x₁＝x₂時(shí)，直線(xiàn)MN的方程為x＝1，與x軸交點(diǎn)為D(1，0)，所以直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D(1，0)．

(證法2)若x₁＝x₂，則由及m>0，得m＝2，此時(shí)直線(xiàn)MN的方程為x＝1，

過(guò)點(diǎn)D(1，0)．若x₁≠x₂，則m≠2.

得k_MD＝k_ND，所以直線(xiàn)MN過(guò)D點(diǎn)．

因此，直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的點(diǎn)D(1，0)．