Question

經(jīng)過長期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度υ（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：y=

920υ

υ2+3υ+1600

（υ＞0）．
（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度υ為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式）
（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知y=

920υ

υ2+3υ+1600

=

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

83

，進(jìn)而求得y的最大值．根據(jù)等號(hào)成立的條件求得此時(shí)的平均速度．
（2）在該時(shí)間段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)時(shí)，解不等式即可求出v的范圍．

解答： 解：（1）依題意，y=

920υ

υ2+3υ+1600

=

920

3+(v+ 1600 v )

≤

920

83

，
當(dāng)且僅當(dāng)v=

1600

v

，即v=40時(shí)，上式等號(hào)成立，
∴y_max=

920

83

（千輛/時(shí)）．
∴如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25km/h且小于64km/h．當(dāng)v=40km/h時(shí)，車流量最大，最大車流量約為

920

83

千輛/時(shí)；
（2）由條件得

920υ

υ2+3υ+1600

＞10，
整理得v²-89v+1600＜0，
即（v-25）（v-64）＜0．解得25＜v＜64．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．要特別留意等號(hào)取得的條件．