Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）在[-5，5]上的最小值；
（2）當(dāng)a=-1時，函數(shù)的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），求b；
（3）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先要把函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的一般式變成頂點式，然后根據(jù)定義域進行求解．
（2）把函數(shù)的一般式變成頂點式f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，然后看對稱軸和定義域的關(guān)系，是否在定義域內(nèi)具有單調(diào)性．
（3）要討論定義域和對稱軸的關(guān)系，根據(jù)拋物線的開口方向確定參數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]
∴x=1時，f（x）的最小值為1．
（2）由（1）知，當(dāng)a=-1時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈[1，b]
∴f（x）在[1，b]上單調(diào)遞增
∴

f(1)=1 f(b)=b

即

(1-1)2+1=1 (b-1)2+1=b

解得

b=1 b=2

∵b＞1
∴b=2
（3）函數(shù)f（x）=（x+a）²+2-a²圖象的對稱軸為x=-a，拋物線開口向上
∵f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
∴-a≤-5
故a的取值范圍是a≥5
故答案為：
（1）函數(shù)f（x）在[-5，5]上的最小值1．
（2）b=2
（3）a的取值范圍是a≥5

點評：本題考查的知識點：二次函數(shù)一般式和頂點式的變換，對稱軸和定義域的關(guān)系，以及根據(jù)定義域和對稱軸的關(guān)系確定參數(shù)a的取值范圍．