Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BB₁=2，P為B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求直線AC與平面ABP所成的角；
（2）求異面直線AC與BP所成的角；
（3）求點(diǎn)B到平面APC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（1，2，1）．
設(shè)平面ABP的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • AB =0 m • AP =0

，可得

m

．設(shè)直線AC與平面ABP所成的角為θ，則sinθ=|cosθ|=

| m • AC |

| m || AC |

即可得出．
（2）

BP

=（-1，0，1），利用cos＜

AC

，

BP

＞=

AC • BP

| AC || BP |

即可得出．
（3）設(shè)平面APC的法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），利用

n • AP =0 n • AC =0

，可得

n

．再利用點(diǎn)B到平面APC的距離d=

| n • AB |

| n |

即可得出．

解答： 解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（1，2，1）．

AC

=（-2，2，0），

AB

=（O，2，0），

AP

=（-1，2，1）．
設(shè)平面ABP的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • AB =0 m • AP =0

，化為

2y=0 -x+2y+z=0

，
令x=1，解得y=0，z=1．
∴

m

=（1，0，1）．
設(shè)直線AC與平面ABP所成的角為θ，則sinθ=|cosθ|=

| m • AC |

| m || AC |

=

2

2 • 8

=

1

2

，∴直線AC與平面ABP所成的角為30°．
（2）

BP

=（-1，0，1），∴cos＜

AC

，

BP

＞=

AC • BP

| AC || BP |

=

2

8 × 2

=

1

2

．
∴異面直線AC與BP所成的角為60°．
（3）設(shè)平面APC的法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），
則

n • AP =0 n • AC =0

，∴

-x0+2y0+z0=0 -2x0+2y0=0

，令x₀=1，解得y₀=1，z₀=-1．
∴

n

=（1，1，-1）．
∴點(diǎn)B到平面APC的距離d=

| n • AB |

| n |

=

2

3

=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用向量的夾角公式求空間角、數(shù)量積運(yùn)算及法向量求空間距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．