Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-bx-

a

x

（a、b為常數(shù)），在x=1時取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a-b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)n∈N^*時，試比較（

n

n+1

）^n（n+1）與（

1

e

）ⁿ⁺²的大小并證明．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在x=1時取得極值，可求實數(shù)a-b的值；
（Ⅱ）確定f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得f（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一極小值，也就是f（x）在（0，+∞）內(nèi)的最小值；
（Ⅲ）由（II）知f（x）_min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，證明ln

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0，可得結(jié)論．

解答： 解：（I）∵f（x）=lnx-bx-

a

x

，
∴f′（x）=

-bx2+x+a

x2

，
∵在x=1時取得極值，
∴f′（1）=-b+1+a=0
∴a-b=-1              …4分
（II）a=-2，b=-1，
∴f(x)=lnx+x+

2

x

，
∴f′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

(x＞0)，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一極小值，也就是f（x）在（0，+∞）內(nèi)的最小值，
∴f（x）_min=f（1）=3…8分
（III）由（II）知f（x）_min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
∵0＜

n

n+1

＜1，
∴f(

n

n+1

)=ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞f(1)=3
∴l(xiāng)n

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0，∴n（n+1）ln

n

n+1

＞0-（n+2），
∴（

n

n+1

）^n（n+1）與（

1

e

）ⁿ⁺²  …（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)極值、最值，輔助函數(shù)證明不等式等，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．