Question

設橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的2倍，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓E交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（1，

1

4

），點A關于x軸的對稱點為A′，求△ABA′的外接圓方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）由已知a=2b，

2b2

a

=1，解得a=2，b=1，可得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y-

1

4

=k（x-1），代入橢圓方程，得（1+4k²）x²-（8a²-2k）x+4k²-2k-

15

4

=0，利用韋達定理，結合線段AB的中點為M（1，

1

4

），求出k，線段AB與x軸的交點為N（

3

4

，0），即為△ABA′的外接圓的圓心，再求出△ABA′的外接圓的半徑，即可求△ABA′的外接圓方程．

解答： 解：（I）由已知a=2b，

2b2

a

=1，解得a=2，b=1，…（3分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（II）設直線l的方程為y-

1

4

=k（x-1），設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（6分）
直線代入橢圓方程，得（1+4k²）x²-（8a²-2k）x+4k²-2k-

15

4

=0
則x₁+x₂=

8k2-2k

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-2k- 15 4

1+4k2

，…（7分）
線段AB的中點為M（1，

1

4

），∴x₁+x₂=

8k2-2k

1+4k2

=2，解得k=-1．…（8分）
△ABA′的外接圓的圓心為線段AB的垂直平分線與線段AA′（即x軸）的垂直平分線的交點，線段AB的垂直平分線的方程為y-

1

4

=x-1，即y=x-

3

4

，
∴線段AB與x軸的交點為N（

3

4

，0），即為△ABA′的外接圓的圓心．…（10分）
∵|AB|=

1+1

•

4-4× 9 20

=

22 5

，∴(

1

2

|AB|)2=

11

10

，
點N（

3

4

，0）到直線AB的距離d=

1

2 2

，∴d²=

1

8

，
記△ABA′的外接圓的半徑R，則R=

11 10 + 1 8

=

49 40

，
∴△ABA′的外接圓的方程為（x-

3

4

）²+y²=

49

40

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查求△ABA′的外接圓方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．