Question

設(shè)a，b為正實數(shù)，現(xiàn)有下列命題：

①若a²－b²＝1，則a－b<1；

②若－＝1，則a－b<1；

③若|－|＝1，則|a－b|<1；

④若|a³－b³|＝1，則|a－b|<1.

其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

Answer 1

　①④

[解析]　本題考查了等式與不等式之間的邏輯關(guān)系

對于①，由a²－b²＝1，則(a－b)(a＋b)＝1，

則a－b>0故a>b，又a>0，b>0，則a＋b>a－b，若a－b≥1，則a＋b>1，則(a＋b)(a－b)>1這與已知條件(a－b)(a＋b)＝1矛盾，故①成立．

對于②，不妨取a＝2，b＝，則a－b＝2－>1，

故②不正確．

對于③，不妨取a＝9，b＝4，則|a－b|＝5>1，故③不正確，

對于④，由|a³－b³|＝1知a≠b，不妨設(shè)a>b，若|a－b|≥1，而a≥b＋1，又b>0，則a>1，∴a²＋ab＋b²>1，

由|a³－b³|＝|a－b||a²＋ab＋b²|＝|a－b|(a²＋ab＋b²)

故|a³－b³|>1，這與已知條件矛盾，

解決問題時直接去解不好處理的情況下可選擇間接解法例如反證法，對于不正確命題可舉一個反例即可．