【題目】已知函數(shù),其中
為常數(shù),
為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若在區(qū)間
,
上的最小值為1,求
的值;
(Ⅱ)若“,使
”為假命題,求
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)
判斷函數(shù)
的單調(diào)性,求函數(shù)
的極值即最值,由題意知, 函數(shù)
的最小值只能在
或
處取得,分別解方程求解即可.
(Ⅱ)若“,使
”為假命題,等價于
,
為真命題,即
,
恒成立,通過分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,令
,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)
的單調(diào)性,由零點(diǎn)存在性定理求出函數(shù)
的最小值,進(jìn)而求出實(shí)數(shù)
的取值范圍即可.
(Ⅰ)由題意知,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
,
所以當(dāng)時,
,
單調(diào)遞增,
當(dāng)時,
,
單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時
有極大值即最大值,
即有的最小值只能在
或
處取得.
若(1)
,解得
,此時
與函數(shù)
最小值為1相矛盾,
故不符合題意;
若(e)
,解得
,此時
符合題意;
綜上可知;
(Ⅱ)若“,使
”為假命題,
即,
為真命題,
等價于,可得
恒成立,
化簡可得,
恒成立,
令,則
,
令,則
在
上單調(diào)遞增,
因為,
,
由零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)在
,
存在唯一零點(diǎn)
,
即有,則
,
兩邊同時取以為底的對數(shù)可得,
,
所以當(dāng)時,
,即
,
單調(diào)遞減,
當(dāng)時,
,即
,
單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時,函數(shù)
有極小值即最小值,
,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓錐(其中
為頂點(diǎn),
為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是
,則圓錐
與它外接球(即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
(
)的左焦點(diǎn)為
,其中四個頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),設(shè)
的中點(diǎn)為
,
,
兩點(diǎn)為橢圓
上關(guān)于原點(diǎn)
對稱的兩點(diǎn),且
(
),求四邊形
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)與定點(diǎn)
的距離和它到直線
的距離的比是常數(shù)
,設(shè)點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線
與曲線
交于
,
兩點(diǎn),設(shè)
的中點(diǎn)為
,
,
兩點(diǎn)為曲線
上關(guān)于原點(diǎn)
對稱的兩點(diǎn),且
(
),求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】全國文明城市,簡稱文明城市,是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號.為普及相關(guān)知識,爭創(chuàng)全國文明城市,某市組織了文明城市知識競賽,現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績(單位:分)如下表:
(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差,并比較哪個單位的職工對文明城市知識掌握得更好;
(2)用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人,求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
).
(1)若曲線與直線
的一個交點(diǎn)縱坐標(biāo)為
,求
的值;
(2)若曲線上的點(diǎn)到直線
的最大距離為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年6月14日,世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕,世界杯給俄羅斯經(jīng)濟(jì)帶來了一定的增長,某紀(jì)念商品店的銷售人員為了統(tǒng)計世界杯足球賽期間商品的銷售情況,隨機(jī)抽查了該商品商店某天200名顧客的消費(fèi)金額情況,得到如圖頻率分布表:將消費(fèi)顧客超過4萬盧布的顧客定義為”足球迷”,消費(fèi)金額不超過4萬盧布的顧客定義為“非足球迷”。
消費(fèi)金額/萬盧布 | 合計 | ||||||
顧客人數(shù) | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)(同一組中的消費(fèi)金額用該組的中點(diǎn)值作代表;
(2)該紀(jì)念品商店的銷售人員為了進(jìn)一步了解這200名顧客喜歡紀(jì)念品的類型,采用分層抽樣的方法從“非足球迷”,“足球迷”中選取5人,再從這5人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,則選取的3人中“非足球迷”人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。
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