【題目】點與定點
的距離和它到直線
的距離的比是常數(shù)
,設點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線
與曲線
交于
,
兩點,設
的中點為
,
,
兩點為曲線
上關于原點
對稱的兩點,且
(
),求四邊形
面積的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)設出點的坐標,根據(jù)題意,列出方程,整理化簡即可求得動點的軌跡方程;
(2)設出直線的方程,利用弦長公式求得
,再利用
,建立直線
與
之間的聯(lián)系,再利用點到直線的距離,以及面積公式,將四邊形面積表示為函數(shù)形式,求該函數(shù)的值域即可.
(1)設動點,則
到直線
的距離
,
由題可知:,即可得
,
兩邊平方整理可得:
故曲線的方程為:
.
(2)因為,故
兩點不可能重合,
則直線的斜率不可能為0,
故可設直線方程為
,
聯(lián)立橢圓方程,
可得,
設兩點坐標分別為
,
則可得,
則
故可得,
因為,故可得
四點共線,
故可得.
不妨設直線方程為
,
,
聯(lián)立直線與橢圓方程
可得,
設,
則,即
則,即
則點到直線
的距離為:
將代入上式即可得:
,
,
故
又根據(jù)弦長公式可得:
故四邊形面積
,
因為,則
,
,
故.
故四邊形面積的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖,其中圓心角∠AOB為,半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑,擬在觀光區(qū)內鋪設一條從入口A到出口B的觀光道路,道路由弧AC、線段CD及線段DB組成,其中D在線段OB上,且CD∥AO.設∠AOC=θ.
(1)用θ表示CD的長度,并寫出θ的取值范圍;
(2)當θ為何值時,觀光道路最長?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】天文學中為了衡量星星的明暗程度,古希臘天文學家喜帕恰斯(,又名依巴谷)在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小,星星就越亮;星等的數(shù)值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度計在天體光度測量中的應用,英國天文學家普森(
)又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足
.其中星等為
的星的亮度為
.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的
倍,則與
最接近的是(當
較小時,
)
A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】造紙術是我國古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后,經(jīng)過修整切邊,裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標準,規(guī)定以、
、…、
;
、
、…、
等標記來表示紙張的幅面規(guī)格.復印紙幅面規(guī)格只采用
系列和
系列,其中
系列的幅面規(guī)格為:①
規(guī)格的紙張的幅寬(以
表示)和長度(以
表示)的比例關系為
;②將
紙張沿長度方向對開成兩等分,便成為
規(guī)格.
紙張沿長度方向對開成兩等分,便成為
規(guī)格,…,如此對開至
規(guī)格.現(xiàn)有
、
、
、…、
紙各一張.若
紙的面積為
,則這9張紙的面積之和等于______
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
為常數(shù),
為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若在區(qū)間
,
上的最小值為1,求
的值;
(Ⅱ)若“,使
”為假命題,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是兩條異面直線,直線
與
都垂直,則下列說法正確的是( )
A. 若平面
,則
B. 若平面
,則
,
C. 存在平面,使得
,
,
D. 存在平面,使得
,
,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在①,
,②
,
,③
,
三個條件中任選一個補充在下面問題中,并加以解答.
已知的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若
,______,求
的面積S.
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