Question

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關于的函數關系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析試題分析：方法一：（Ⅰ）在中，，將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱，則其底面周長為，設地面半徑為，則，由柱體的體積公式，可知；（Ⅱ）利用換元法求解，令，則，對其求導可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，可知當時，體積取得最大值.
方法二：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，則，利用勾股定理可得，設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出V與x的關系，進而得到關于的函數關系式．
（2）利用（1）可知（），再對V求導得V′，得出其單調性，可知在上是增函數，在上是減函數，所以當時，有最大值．
試題解析：【解法1】：（1）
（2）令，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
即當時，體積取得最大值.
【解法2】：（1）連接，在中，設，則
設圓柱底面半徑為，則，即，
，其中.
（2）由，得;
由解得；由解得．
因此在上是增函數，在上是減函數．
所以當時，有最大值．
考點：1.導數在最大值、最小值問題中的應用；2.解三角形.