已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，（），求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

（Ⅰ）在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)；（Ⅱ）k的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）將代入求導，根據(jù)其符號即可得其單調性；（Ⅱ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數(shù)圖象特征，結合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

（Ⅲ）結合圖象可知，函數(shù)的兩個極值點，滿足.
，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？
由，得，利用這個關系式便可將換掉而只留：
，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）若，，則，
當時，，
故函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)． 4分
（Ⅱ）函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個根，
即方程有兩個根，設，則，
當時，，函數(shù)單調遞增且；
當時，，函數(shù)單調遞增且；
當時，，函數(shù)單調遞減且．
要使有兩個根，只需，
故實數(shù)k的取值范圍是． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數(shù)的兩個極值點，滿足， 10分
由，得，
所以，
由于，故，
所以． 14分
考點：1、導數(shù)的應用；2、不等關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關于的函數(shù)關系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)
（Ⅰ）當時，求的極值；
（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調性；
(Ⅲ）若對任意的a∈(2,3)，x­1,x2∈[1,3]，恒有成立，求實數(shù)m的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若時，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
（2）若恒成立，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）求的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（Ⅲ）若，使（）成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）若，設是函數(shù)的兩個極值點，且，記分別為的極大值和極小值，令，求實數(shù)的取值范圍.

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