Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右焦點作與坐標軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點，設點是線段上的一個動點，且，求的取值范圍；

（3）設點是點關于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存

在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）在軸上存在定點，使得、、三點共線．

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的焦點在軸上，設出橢圓方程，然后由已知條件列出關于的方程組，從而解出，得到橢圓方程；（2）因為直線過橢圓的右焦點，且與坐標軸不垂直，所以設直線：（），與橢圓方程聯(lián)立可得，設則，由韋達定理得，.因為，所以，代入坐標，利用韋達定理可得即，解得；（3）假設在軸上存在定點，使得、、三點共線，由點坐標可以求得點坐標，從而得到直線的方程為，令，則 ，再由點在直線上，得到 ，代入中化簡既得.

試題解析：（1）設橢圓方程為，由題意，

又 ，∴，故橢圓方程為 ． 4分

（2）由（1）得右焦點，則，設的方程為（）代入，得

，∴，設

則，， 且， ．

∴，

由，得，

，

，

，

∴當時，有成立． 9分

（3）在軸上存在定點，使得、、三點共線．依題意，

直線的方程為，令，則 ，

點在直線上， ∴ ，

∴

，

∴ 在軸上存在定點，使得、、三點共線． 13分

考點：（1）求橢圓方程；（2）直線與圓錐曲線；（3）圓錐曲線中的存在性問題.