已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)(如圖)，易證BM＋DN＝MN．

(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)(如圖)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；

(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．

如圖所示，已知拋物線y＝x²－1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積；

(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似．若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，二次函數(shù)y＝x²＋px＋p的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A的坐標(biāo)為(－1\2，0)，其對(duì)稱軸為x＝3\4．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)過(guò)y軸上一點(diǎn)M(0，m)作x軸的平行線l，若l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(10，0)，(2，4)．

(1)若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)若P為拋物線上異于C的點(diǎn)，且△OAP是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，探究：拋物線對(duì)稱軸上是否存在異于D的點(diǎn)Q，使△AQD是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x＋1與y＝－x＋3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．

(2)當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

(3)在直線AB上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖．拋物線y₁＝ax²－2ax＋b經(jīng)過(guò)A(－1，0)，C(2，)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

(1)求此地物線的解析式；

(2)若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)Q在線段MB上移動(dòng)，且∠MPQ＝45°，設(shè)線段OP＝x，MQ＝y₂，求y₂與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x＝m，x＝n分別與拋物線交于點(diǎn)E，G，與(2)中的函數(shù)圖像交于點(diǎn)F，H．問(wèn)四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．

(1)如圖，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：________；

(2)如圖，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由．如果成立請(qǐng)證明；

(3)如圖，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長(zhǎng)．

(可利用(2)得到的結(jié)論)

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高為4．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)．

(1)當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值；

(2)試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形．

已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

(1)直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；

(2)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．

你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．

(3)將圖1中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？(不要求證明)