Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣ x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，記點M到線段BC的距離為d，當d取最大值時，求出此時M點的坐標；

（3）若點P是拋物線上一點，點E是直線y=﹣x上的動點，是否存在點P、E，使以點A，點B，點P，點E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= x2﹣x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；點E坐標為(,)、(,)、（,)或(,).

【解析】

（1）根據點B、C的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）作MN∥y軸交BC于點N，可知的面積==2MN=，

故當MN最大時，的面積也最大，此時M到線段BC的距離d也最大，據此可解；
（3）假設存在，設點E的坐標為（n，-n）．以點A，點B，點P，點E為頂點的平行四邊形分兩種情況：①以AB為邊，根據A、B、E點的坐標表示出P點的坐標，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點E的坐標；②以AB為對角線，根據A、B、E點的坐標表示出P點的坐標，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點E的坐標．綜上即可得出結論．

（1）解：由題意得c=-2，0=a×42-×4-2，

解得a= ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣x-2.

（2）解：作MN∥y軸交BC于點N，

∵的面積==2MN=，

∴當MN最大時，的面積也最大，此時M到線段BC的距離d也最大，

設直線BC的解析式為y=kx+b,

∴,

解得,

∴y=x-2，

∴MN=x-2-( x2-x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，

∴當x=2時，MN有最大值2，

∴M（2，-3）.

∴當d取最大值時， M點的坐標是（2，-3）；

（3）解：存在，理由如下：

設點 E 的坐標為 (n,n), 以點A,點B,點P,點E為頂點的平行四邊形分兩種情況，如圖，

①以線段AB為邊，點E在點P的左邊時，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(5+n,n)，

∵點P(5+n,n)在拋物線y= x2-x-2上，

∴n=(5+n)2(5+n)2,

解得：n1=, n2= ，

此時點E的坐標為(,)或(,)；

以線段AB為邊，點E在點P的右邊時，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(n5,n)，

∵點P(n5,n)在拋物線y=x2x2上，

∴n=(n5)2(n5)2,

即n211n+36=0，

此時△=(11)24×36=23<0，

∴方程無解；

②以線段AB為對角線時，

∵A(1,0),B(4,0),E(n,n)，

∴P(3n,n)，

∵點P(3n,n)在拋物線y=x2x2上，

∴n=(3n)2(3n)2,

解得：n3=,n4= ，

此時點E的坐標為（,)或(,).

綜上可知：存在點P、E, 使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形, 點E坐標為(,)、(,)、（,)或(,).