Question

9．已知等邊三角形ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，連接GD，
（1）求證：DF與⊙O的位置關(guān)系并證明；
（2）求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF長(zhǎng)，同理可利用△FHC中的60°的三角函數(shù)值可求得FG長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OD，
∵以等邊三角形ABC的邊AB為直徑的半圓與BC邊交于點(diǎn)D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以邊AB為直徑的半圓的半徑，
∴DF是圓O的切線；
（2）∵OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC-BD=AB-BD=12-6=6，
∵在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴AF=AC-CF=12-3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)，判斷直線和圓的位置關(guān)系，一般要猜想是相切，那么證直線和半徑的夾角為90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函數(shù)來(lái)求得相應(yīng)的線段長(zhǎng)．