Question

1．閱讀解答：
2¹-2⁰=2-1=2⁰
2²-2¹=4-2=2¹
2³-2²=8-4=2²
…
（1）探索上面式子的規(guī)律，試寫出第n個等式并用因式分解的方法說明其成立；
（2）計算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根據式子規(guī)律可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1，然后利用提公因式2^n-1可以證明這個等式成立；
（2）設題中的表達式為a，再根據同底數(shù)冪的乘法得出2a的表達式，相減即可．

解答 解：（1）第n個等式為：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵左邊=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（2-1）=2^n-1，
右邊=2^n-1，
∴左邊=右邊，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
（2）設a=2°+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．①
則2a=2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶②
由②-①得：a=2²⁰¹⁶-1，
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1．

點評 本題考查了因式分解的應用，同時也是一個探尋規(guī)律問題；此類題要認真觀察，善于聯(lián)想，總結規(guī)律，并能正確的應用規(guī)律．