Question

1．閱讀解答：
2¹-2⁰=2-1=2⁰
2²-2¹=4-2=2¹
2³-2²=8-4=2²
…
（1）探索上面式子的規(guī)律，試寫出第n個(gè)等式并用因式分解的方法說(shuō)明其成立；
（2）計(jì)算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)式子規(guī)律可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1，然后利用提公因式2^n-1可以證明這個(gè)等式成立；
（2）設(shè)題中的表達(dá)式為a，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法得出2a的表達(dá)式，相減即可．

解答 解：（1）第n個(gè)等式為：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵左邊=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（2-1）=2^n-1，
右邊=2^n-1，
∴左邊=右邊，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
（2）設(shè)a=2°+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．①
則2a=2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶②
由②-①得：a=2²⁰¹⁶-1，
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用，同時(shí)也是一個(gè)探尋規(guī)律問(wèn)題；此類題要認(rèn)真觀察，善于聯(lián)想，總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．