Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，且點(diǎn)（2，2），（1，）在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上不與頂點(diǎn)N重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PA⊥x軸于A(yíng)，PC⊥y軸于C，延長(zhǎng)PC交拋物線(xiàn)于E，設(shè)M是O關(guān)于拋物線(xiàn)頂點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D是C點(diǎn)關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形PMDA是平行四邊形；

（3）求證：△DPE∽△PAM，并求出當(dāng)它們的相似比為時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）， N（0，1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析，P（，4）或（﹣，4）．

【解析】

試題分析：（1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)的解析式，可求得其頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則可表示出C、D、M、A的坐標(biāo)，從而可表示出PA和DM的長(zhǎng)，由PA=DM可證得結(jié)論；

（3）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四邊形PMDA為菱形，由菱形的性質(zhì)和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得∠PDE=∠APM，可證得結(jié)論，在Rt△AOM中，用t表示出AM的長(zhǎng)，再表示出PE的長(zhǎng)，由相似比為可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）解：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為 ，∵點(diǎn)（2，2），（1，）在拋物線(xiàn)上，∴，解得：，∴拋物線(xiàn)解析式為，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；

（2）證明：設(shè)P（t，），則C（0，），PA=，∵M是O關(guān)于拋物線(xiàn)頂點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D是C點(diǎn)關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且N（0，1），∴M（0，2），∵OC=，ON=1，∴DM=CN=﹣1=，∴OD=，∴D（0，），∴DM=2﹣（）==PA，且PM∥DM，∴四邊形PMDA為平行四邊形；

（3）解：同（2）設(shè)P（t，），則C（0，），PA=，PC=|t|，∵M（0，2），∴CM=﹣2=，在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = ==PA，且四邊形PMDA為平行四邊形，∴四邊形PMDA為菱形，∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，∵PE⊥y軸，且拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸，∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，∴∠PDE=∠APM，且，∴△DPE∽△PAM；∵OA=|t|，OM=2，∴AM=，且PE=2PC=2|t|，當(dāng)相似比為時(shí)，則=，即 =，解得t=或t=﹣，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）或（﹣，4）．