Question

【題目】已知拋物線y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常數）．

（1）無論m取何值，該拋物線都經過定點 D．直接寫出點D的坐標．

（2）當m取不同的值時，該拋物線的頂點均在某個函數的圖象上，求出這個函數的表達式．

（3）若在0≤x≤1的范圍內，至少存在一個x的值，使y＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 定點D（1，0）；(2)在；（3）m＞2．

【解析】

①當x=1時，y=0.說明無論m取何值，函數圖像都經過同一個點（1,0），可求定點.

②根據拋物線方程求出頂點坐標，進而求出函數表達式.

③根據一二問求出拋物線與x軸的交點，再討論對稱軸與交點坐標的位置關系.

解：（1）∵拋物線y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2=m（x﹣1）2+2（x﹣1）

∴當x﹣1=0時，無論m為何值，拋物線經過定點 D，

∴x=1，y=0，

∴定點D（1，0）；

（2）∵﹣=﹣=1﹣，

==﹣，

∴頂點為（1﹣，﹣），

∴頂點在函數y=x﹣1上；

（3）由（1）、（2）可得，該拋物線與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸為直線x=1﹣．

①

當m＞0時，拋物線開口方向向上，且1﹣＜1，

由圖象可知，要滿足條件，只要x=0式，y=m﹣2＞0，

∴m＞2；

②

當m＜0時，拋物線開口方向向下，且1﹣＞1，

由圖象可知，不符合題意；

綜上所述，m的取值范圍是：m＞2．