Question

如圖，ABCD是直角梯形，以斜腰AB為直徑作圓，交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BC于點(diǎn)G．
求證：（1）DE=CF；（2）

AE

=

FG

．

Answer 1

分析：（1）過(guò)O作OH⊥EF，H為垂足，由垂徑定理得到EH=FH，同時(shí)可得OH為直角梯形ABCD的中位線(xiàn)，則HD=HC，即可得到DE=CF；
（2）連AG，由AB為直徑，得到∠AGB=90°，即有AG∥DC，根據(jù)平行弦所夾得弧相等，即可得到

AE

=

FG

．

解答：解：（1）過(guò)O作OH⊥EF，H為垂足，如圖，
則EH=FH，OH∥AD∥BC，
而OA=OB，
∴OH為直角梯形ABCD的中位線(xiàn)，
∴HD=HC，
∴DE=CF；

（2）連AG，
∵AB為直徑，
∴∠AGB=90°，
∴AG∥DC，
∴

AE

=

FG

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理、梯形的中位線(xiàn)性質(zhì)和圓的平行弦所夾的弧相等．