Question

如圖，ABCD是直角梯形，以斜腰AB為直徑作圓，交CD于點E，F，交BC于點G．
求證：（1）DE=CF；（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OH⊥EF，H為垂足，由垂徑定理得到EH=FH，同時可得OH為直角梯形ABCD的中位線，則HD=HC，即可得到DE=CF；
（2）連AG，由AB為直徑，得到∠AGB=90°，即有AG∥DC，根據平行弦所夾得弧相等，即可得到．
解答：解：（1）過O作OH⊥EF，H為垂足，如圖，
則EH=FH，OH∥AD∥BC，
而OA=OB，
∴OH為直角梯形ABCD的中位線，
∴HD=HC，
∴DE=CF；

（2）連AG，
∵AB為直徑，
∴∠AGB=90°，
∴AG∥DC，
∴．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理、梯形的中位線性質和圓的平行弦所夾的弧相等．