Question

【題目】（1）如圖①，在矩形ABCD中，在BC邊上是否存在點P，使∠APD＝90°，若存在請用直尺和圓規(guī)作出點P（保留作圖痕跡）

（2）若AB＝4，AD＝10，求出圖①中BP的長．

（3）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分別為AB，AC的中點，當AD＝6時，BC邊上是否存在一點Q，使∠EQF＝90°，求此時BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）BP的長是2或8；（3）．

【解析】

（1）以AD為直徑畫圓與BC交于點P1、P2，則點P1、P2為所求點；
（2）由矩形的性質(zhì)得到AD=BC=10，AB=CD=4根據(jù)三角形相似即可解出；
（3）由三角形的中位線得到EF∥BC，EF＝BC＝6，根據(jù)EF與BC間距離為3，推出以EF為直徑的⊙O與BC相切，得出BC上符合條件的點Q只有一個，記⊙O與BC相切于點Q，連接OQ，過點E作EG⊥BC，垂足為G，證出四邊形EOQG為正方形，由勾股定理即可求出．

解：（1）如圖所示，則點P1、P2為所求點；

（2）在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD＝4，

設BP＝x，則PC＝10﹣x，

∵∠APD＝90°，

∴∠APB+∠CPD＝90°，

∵∠BAP+∠APB＝90°，

∴∠BAP＝∠CPD，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴，

解得：x1＝2，x2＝8，

∴BP的長是2或8；

（3）如圖：

∵EF分別為AB、AC的中點，

∴EF∥BC，EF=BC=6,

∵AD＝6，AD⊥BC，

∴EF與BC間距離為3，

∴以EF為直徑的⊙O與BC相切，

∴BC上符合條件的點Q只有一個，記⊙O與BC相切于點Q，

連接OQ，過點E作EG⊥BC，垂足為G，

∴EG＝OE＝3，

∴四邊形EOQG為正方形，

在Rt△EBG中，∠B＝60°，EG＝3，∴，∴．