Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AC上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)E作EF∥AB，交邊BC于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)DE、DF，設(shè)CE=x．

（1）當(dāng)x =1時，求△DEF的面積；

（2）如果點(diǎn)D關(guān)于EF的對稱點(diǎn)為D’，點(diǎn)D’ 恰好落在邊AC上時，求x的值；

（3）以點(diǎn)A為圓心，AE長為半徑的圓與以點(diǎn)F為圓心，EF長為半徑的圓相交，另一個交點(diǎn)H恰好落在線段DE上，求x的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）過點(diǎn)作，由EF∥AB得EM為△DEF邊EF上的高，通過計(jì)算求出EF、EM即可求出△DEF面積；

（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn)，根據(jù)對稱性知，，分別在Rt△AD D’和Rt△AEN中解直角三角形即可解得x值；

（3）與相交于點(diǎn)，在Rt△CEF中，用x表示出AF，利用EF∥AB得，用x表示出AG，再用兩圓相交的性質(zhì)知AF⊥DE，進(jìn)而證得即，代入數(shù)值即可得關(guān)于x的方程，解之即可解得x值．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

在中，，，，，.

，，.

在中，，，，.

，. 又，.

.

（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).

、關(guān)于對稱，，.

. ，.

在中，，，，.

.

，，，.

在中，，，，，

.

（3）如圖3，設(shè)與相交于點(diǎn).

在中，，，，

，. .

，. ，，.

.

圓和圓相交，另一個交點(diǎn)H恰好在DE上，

. .

，，.

. .

解得（舍去），.