Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S_{四邊形AEPF}=S_△ABC；④BE+CF=EF．上述結(jié)論中始終正確的有(     )

A．4個(gè)  B．3個(gè)   C．2個(gè)  D．1個(gè)

Answer 1

B【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對(duì)題中的結(jié)論逐一判斷．

【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE=∠CPF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，

∴AP=CP，

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

同理可證△APF≌△BPE，

∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四邊形AEPF}=S_△ABC，①②③正確；

故AE=FC，BE=AF，

∴AF+AE＞EF，

∴BE+CF＞EF，故④不成立．

始終正確的是①②③．

故選B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，綜合利用了全等三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是證明△APE≌△CPF（ASA），△APF≌△BPE．