Question

20．已知：關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+m+1=0．
（1）求證：該方程總有實數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=x²-（m+2）x+m+1（m＞0）與x軸交點為A，B（點A在點B的左邊），且兩交點間的距離是2，求二次函數(shù)的表達式；
（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．
在（2）的條件下，垂直于y軸的直線y=n與拋物線交于點E，F(xiàn)．若拋物線在點E，F(xiàn)之間的部分與線段EF所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有7個整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+m+1=0判別式的符號進行證明；
（2）將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為兩點式方程，求得點A、B的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合已知條件求得m的值即可；
（3）根據(jù)題意作出圖形，結(jié)合圖形直接寫出n的取值范圍．

解答 解：（1）∵△=（m+2）²-4（m+1）=m²≥0，
∴不論m取何值，該方程總有實數(shù)根；

（2）由題意可知：y=x²-（m+2）x+m+1=（x-1）（x-m-1），
∴A（1，0），B（m+1，0）．
∵兩交點間距離為2，
∴m+1-1=2．
∴m=2．
∴y=x²-4x+3；

（3）如圖所示，

n的取值范圍是：1≤n＜2．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握拋物線與x軸的交點、拋物線解析式的三種形式間的轉(zhuǎn)化、拋物線解析式與一元二次方程的轉(zhuǎn)化等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．