Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．

（1）求證：；

（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，分別延長CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；

（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使的值最小．當(dāng)的值取得最小值時(shí)，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）由（1）得，，，推出，然后根據(jù)現(xiàn)有條件說明

在中，，點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，F為圓心，則，在中，推出，即可得出答案；

（3）設(shè)點(diǎn)P存在，由費(fèi)馬定理可得，設(shè)PD為，

得出，，得出，解出a，根據(jù)即可得出答案．

解：（1）證明如下：∵，

∴，

∵，，

∴在和中，

∴，

∴，

∴，

在中，F為DE中點(diǎn)（同時(shí)），，

∴，即為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴；

（2）由（1）得，，，

∴，

在中，，

∵F為DE中點(diǎn)，

∴，

在四邊形ADCE中，有，，

∴點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，

∵F為DE中點(diǎn)，

∴F為圓心，則，

在中，

∵，

∴F為CG中點(diǎn)，即，

∴，

即；

（3）設(shè)點(diǎn)P存在，由費(fèi)馬定理可得，

∴，

設(shè)PD為，

∴，

又，

∴，

又

∴．