Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y＝﹣x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個動點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動時，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)N時，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

首先，需要證明線段B1B2就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡），如圖1所示．利用相似三角形可以證明；其次，證明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的長．

解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至ON上的任一點(diǎn)時，設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP，ABi，BBi，

∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，

∴∠OAP＝∠B1ABi，

又∵AB1＝AOtan30°，ABi＝APtan30°，

∴AB1：AO＝ABi：AP，

∴△AB1Bi∽△AOP，

∴∠B1Bi＝∠AOP．

同理得△AB1B2∽△AON，

∴∠AB1B2＝∠AOP，

∴∠AB1Bi＝∠AB1B2，

∴點(diǎn)Bi在線段B1B2上，即線段B1B2就是點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）．

由圖形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，

∴

Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，

∴

∴

∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，

∴∠PAN＝∠B1AB2，

∴△APN∽△AB1B2，

∴，

∵ON：y＝﹣x，

∴△OMN是等腰直角三角形，

∴OM＝MN＝，

∴PN＝，

∴B1B2＝，

綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動的路徑（或軌跡）是線段B1B2，其長度為．

故答案為：．