Question

1．如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可分別求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）結(jié)合（1）中A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB²+AM²=BM²，可判定△ABM為直角三角形．

解答 解：（1）∵A點(diǎn)為直線y=x+1與x軸的交點(diǎn)，
∴A（-1，0），
又B點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵拋物線頂點(diǎn)在y軸上，
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+c，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{4a+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-1；

（2）△ABM為直角三角形．理由如下：
由（1）拋物線解析式為y=x²-1，可知M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
∴AM²=1²+1²=2，AB²=（2+1）²+3²=18，BM²=2²+（3+1）²=20，
∴AM²+AB²=2+18=20=BM²，
∴△ABM為直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識點(diǎn)．在（1）中確定出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中分別求得AB、AM、BM的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較為基礎(chǔ)，難度適中．