Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+2與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線l，直線l與直線y=-x+2交于點(diǎn)C；拋物線y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．
（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)E（2，-2）在拋物線y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）上，求n的值；
（3）若拋物線y=nx²-2nx+n+2（其中n＜0）與線段BC有唯一公共點(diǎn)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再講二次函數(shù)配方可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)E坐標(biāo)代入，解方程即可得；
（3）根據(jù)題意知當(dāng)x=0時(shí)y＞-2，當(dāng)x=4時(shí)y≤-2，列不等式組求解可得．

解答 解：（1）y=-x+2中當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)A（0，2），
∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，
∴點(diǎn)B（0，-2），
∵點(diǎn)B垂直于y軸的直線l與直線y=-x+2交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)y=-2時(shí)，-x+2=-2，
解得：x=4，
即點(diǎn)C（4，-2）；
∵y=nx²-2nx+n+2=n（x-1）²+2，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）將點(diǎn)E（2，-2）代入y=nx²-2nx+n+2，得：-2=4n-4n+n+2，
解得：n=-4；

（3）根據(jù)題意知當(dāng)x=0時(shí)y＞-2，當(dāng)x=4時(shí)y≤-2，
即$\left\{\begin{array}{l}{n+2＞-2}\\{16n-8n+n+2≤-2}\end{array}\right.$，
解得：-4＜n≤-$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出關(guān)于n的不等式組是解題的關(guān)鍵．