Question

9．在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積是ycm²，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，要求紙邊的寬度不得少于1cm，同時(shí)不得超過2cm．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（2）此時(shí)金色紙邊的寬應(yīng)為多少cm時(shí)，這幅掛圖的面積最大？求出最大面積的值．

Answer 1

分析 （1）用含x的代數(shù)式表示出鑲紙邊后矩形的長(zhǎng)和寬，根據(jù)矩形的面積公式即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，結(jié)合題意標(biāo)明x的取值范圍即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，由此即可解決最值問題．

解答 解：（1）鑲金色紙邊后風(fēng)景畫的長(zhǎng)為（80+2x）cm，寬為（50+2x）cm，
∴y=（80+2x）•（50+2x）=4x²+260x+4000（1≤x≤2）．
（2）∵二次函數(shù)y=4x²+260x+4000的對(duì)稱軸為x=-$\frac{260}{8}$=-$\frac{65}{2}$，
∴在1≤x≤2上，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，最大值為4536．
答：金色紙邊的寬為2cm時(shí)，這幅掛圖的面積最大，最大面積的值為4536cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）結(jié)合矩形的面積找出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．