Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是分式方程的解，若拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，連結(jié)，若點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

（3）連結(jié)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)在第三象限中的拋物線(xiàn)上取點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，已知．

①求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使得成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為；②點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）通過(guò)解方程求出拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的橫坐標(biāo)，得出，再代入點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作軸交與點(diǎn)、交軸與點(diǎn)，在圖示的位置時(shí)，有最小值，即可求解；

（3）①，則，即：，求解即可；②求出HP所在的直線(xiàn)表達(dá)式與二次函數(shù)聯(lián)立，求得交點(diǎn)即可．

解：（1）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)是的解，

拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為，

拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)

，

拋物線(xiàn)的解析式為

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作軸交與點(diǎn)、交軸與點(diǎn)

，

則，

，

在圖示的位置時(shí)，，

此時(shí)為最小值，長(zhǎng)度為，

，，

，

在中，，

即的最小值為；

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線(xiàn)表達(dá)式的值為，

則直線(xiàn)表達(dá)式的值為，

設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為:

將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得:，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作軸平行線(xiàn)交過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)于點(diǎn)

，

，

則，

即:

，

即:，

解得:或(舍去)

故點(diǎn)坐標(biāo)為

點(diǎn)坐標(biāo)為；

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

則:

則，，

設(shè):

則

則，

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交過(guò)點(diǎn)與軸的平行線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作

則:，

即四邊形為正方形，

，

設(shè):，

，，

則

即點(diǎn)坐標(biāo)為，

則所在的直線(xiàn)表達(dá)式為:，

聯(lián)立并解得:或(舍去)，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為．