Question

7．如圖，△OP₁A₁、△A₁P₂A₂都是等腰直角三角形，點(diǎn)P₁、P₂在函數(shù)y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上，斜邊OA₁，A₁A₂都在x軸上．
（1）請(qǐng)求出P₁、P₂的坐標(biāo)；
（2）求直線P₁P₂的解析式；
（3）利用圖象直接寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，y₂＞y₁（y₂是直線P₁P₂的函數(shù)值）

Answer 1

分析 （1）作P₁E、P₂F分別垂直x軸于點(diǎn)E、F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出P₁E=OE=EA₁，P₂F=A₁F=FA₂，由此可設(shè)P₁（m，m），P₂（2m+n，n）（m＞0，n＞0），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于m、n的分式方程，解方程即可得出m、n值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出P₁、P₂的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線P₁P₂的解析式為y=kx+b（k≠0），根據(jù)點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線P₁P₂的解析式；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式y(tǒng)₂＞y₁的解集．

解答 解：（1）作P₁E、P₂F分別垂直x軸于點(diǎn)E、F，如圖所示．
∵△OP₁A₁、△A₁P₂A₂都是等腰直角三角形，
∴P₁E=OE=EA₁，P₂F=A₁F=FA₂，
∴設(shè)P₁（m，m），P₂（2m+n，n）（m＞0，n＞0），
∴m=$\frac{4}{m}$，n=$\frac{4}{2m+n}$，
∴m=2，n=2$\sqrt{2}$-2，
經(jīng)檢驗(yàn)m=2，n=2$\sqrt{2}$-2是分式方程的解．
∴P₁（2，2），P₂（2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$-2）．
（2）設(shè)直線P₁P₂的解析式為y=kx+b（k≠0），
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2=2k+b}\\{2\sqrt{2}-2=（2\sqrt{2}+2）k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1-\sqrt{2}}\\{b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直線P₁P₂的解析式為y=（1-$\sqrt{2}$）x+2$\sqrt{2}$．
（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)2＜x＜2+$\sqrt{2}$時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
故當(dāng)2＜x＜2+$\sqrt{2}$時(shí)，y₂＞y₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出關(guān)于m、n的方程；（2）利用待定系數(shù)法求出直線P₁P₂的解析式；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．