23．[解法一](1)由，得，　　　　　　　　 ．．．．．．2分

整理后，可得，、，為整數，　

不存在、，使等式成立�！　　　　　　　　　　　　　　� ．．．．．．5分

(2)若，即，　　　　　　　　　　　　 (*)

(ⅰ)若則�！�

當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求�！　　　　　� ．．．．．．7分

(ⅱ)若，(*)式等號左邊取極限得，(*)式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數，，矛盾。

綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。．．．．．．10分

[解法二]設　

則

(i) 若d=0，則　

(ii) 若(常數)即，則d=0，矛盾

綜上所述，有，　　　 10分

(3)　

設.

，

.　　　　　　　 13分

取　　 15分

由二項展開式可得正整數M_1、M₂，使得(4-1)^2s+2=4M₁+1,

故當且僅當p=3^s,sN時，命題成立.

說明：第(3)題若學生從以下角度解題，可分別得部分分(即分步得分)

若p為偶數，則a_m+1+a_m+2+……+a_m+p為偶數，但3^k為奇數

故此等式不成立，所以，p一定為奇數。

當p=1時，則a_m+1=b_k,即4m+5=3^k，

而3^k=(4-1)^k

=

當k為偶數時，存在m，使4m+5＝3^k成立　 　　　　　　　　　　　1分

當p=3時，則a_m+1+a_m+2+a_m+3=b_k,即3a_m+2-b_k,　

也即3(4m+9)=3^k,所以4m+9=3^k-1,4(m+1)+5=3^k-1

由已證可知，當k-1為偶數即k為奇數時，存在m,　 4m+9=3^k成立　　　 2分

當p=5時，則a_m+1+a_m+2+……+a_m+5=b_k,即5a_m+3=b_k

也即5(4m+13)=3^k,而3^k不是5的倍數，所以，當p=5時，所要求的m不存在

故不是所有奇數都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

23.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。

已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。

(1) 若，是否存在，有說明理由；　 　

(2) 找出所有數列和，使對一切,,并說明理由；

(3) 若試確定所有的，使數列中存在某個連續(xù)項的和是數列中的一項，請證明。

22.(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

　　 已知函數的反函數。定義：若對給定的實數，函數與互為反函數，則稱滿足“和性質”；若函數與互為反函數，則稱滿足“積性質”。

(1) 判斷函數是否滿足“1和性質”，并說明理由；　 　

(2) 求所有滿足“2和性質”的一次函數；

(3) 設函數對任何，滿足“積性質”。求的表達式。

22(1)解，函數的反函數是

而其反函數為　

故函數不滿足“1和性質”

(2)設函數滿足“2和性質”，

…….6分

而得反函數………….8分

由“2和性質”定義可知=對恒成立

即所求一次函數為………..10分　

(3)設，，且點在圖像上，則在函數圖象上，

故，可得，　　　　　　 ．．．．．．12分

，　 　　　　　

令，則。，即�！　� ．．．．．．14分

綜上所述，，此時，其反函數就是，

而，故與互為反函數 �！　　　　　� ．．．．．．16分

21.(1)雙曲線C的漸近線

直線l的方程………………..6分　 　　　　　

直線l與m的距離……….8分　

(2)設過原點且平行與l的直線

則直線l與b的距離

當 　 　　　　　

又雙曲線C的漸近線為　

雙曲線C的右支在直線b的右下方，

雙曲線右支上的任意點到直線的距離為。

故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為。

[ 證法二] 雙曲線的右支上存在點到直線的距離為，

則

由(1)得，　

設　

當，0………………………………..13分

將　 代入(2)得　　　 (*)

方程(*)不存在正根，即假設不成立　 　　　　　

故在雙曲線C的右支上不存在Q，使之到直線l 的距離為…………….16分

21．(本題滿分16分)本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分。

　　 已知雙曲線設過點的直線l的方向向量　 　

(1) 當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；

(2) 證明：當>時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。

19(本題滿分14分)

如圖，在直三棱柱中，,

,求二面角的大小�！� 　

19，[解]如圖，建立空間直角坐標系

則A(2，0，0)、　　 C(0，2，0)　　　 A1(2，0，2)，

B1(0，0，2) 、C1(0，2，2)　　　　　　　　 ……2分

設AC的中點為M，∵BM⊥AC,　 BM⊥CC1;

∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一個法向量�！�…5分

設平面的一個法向量是　　　　　　　 =(x，y，z)，

　=(-2，2，-2)，　　　 　=(-2，0，0)　　　 　　……7分

設法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角

…………………….14分

20(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。

有時可用函數

描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數()，表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關。

(1) 證明：當時，掌握程度的增加量總是下降；

(2) 根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為,,。當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科。

20.證明(1)當

而當，函數單調遞增，且>0……..3分

故單調遞減　

當，掌握程度的增長量總是下降……………..6分

(2)由題意可知0.1+15ln=0.85……………….9分

整理得

解得…….13分

由此可知，該學科是乙學科……………..14分　 　　　　　

18、[答案]B

[解析]由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B。

18.過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，被圓分成四部分(如圖)，若這四部分圖形面積滿足則直線AB有(　 )

(A) 0條　　 (B) 1條　　 (C)　 2條　　 (D) 3條

17、[答案]D 　 　　　　　

[解析]根據信息可知，連續(xù)10天內，每天的新增疑似病例不能有超過7的數，選項A中，中位數為4，可能存在大于7的數；同理，在選項C中也有可能；選項B中的總體方差大于0，敘述不明確，如果數目太大，也有可能存在大于7的數；選項D中，根據方差公式，如果有大于7的數存在，那么方差不會為3，故答案選D.

17.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”。根據過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據，一定符合該標志的是

(A)甲地：總體均值為3，中位數為4　　 (B)乙地：總體均值為1，總體方差大于0　　　

(C)丙地：中位數為2，眾數為3　　　　 (D)丁地：總體均值為2，總體方差為3