已知中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中，可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

第二問中，

假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設橢圓的標準方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標準方程為

 (Ⅱ) 假設存在這樣的直線,設,MN的中點為

 因為|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內部，則z=－x+y的取值范圍是

（A）(1－，2)     （B）(0，2)     （C）(－1，2)   （D）(0，1+)

【解析】    做出三角形的區(qū)域如圖，由圖象可知當直線經過點B時，截距最大，此時，當直線經過點C時，直線截距最小.因為軸，所以,三角形的邊長為2，設，則，解得，，因為頂點C在第一象限，所以，即代入直線得，所以的取值范圍是，選A.

 

把函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象．　

(1)求函數(shù)的解析式； (2)若，證明：.

【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運用函數(shù)思想證明不等式。第一問中，利用設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結論。第二問中，令，然后求導，利用最小值大于零得到。

(1)解：設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

(2) 證明：令，……6分

則……8分

,∴,∴在上單調遞增．……10分

故，即

 

某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗如下：

零件的個數(shù)（個）	2	3	4	5
加工的時間（小時）	2.5	3	4	4.5

（1）在給定坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）求關于的線性回歸方程；

（3）試預測加工10個零件需要多少時間？

（，）

【解析】第一問中，利用表格中的數(shù)據(jù)先作出散點圖

第二問中，求解均值a,b的值，從而得到線性回歸方程。

第三問，利用回歸方程將x=10代入方程中，得到y(tǒng)的預測值。

解：（1）散點圖（略）   (2分)

（2） （4分）

∴         (7分)

        (8分)∴回歸直線方程：       (9分)

(3)當∴預測加工10個零件需要8.05小時。

 

如圖，已知直線（）與拋物線：和圓：都相切，是的焦點．

（Ⅰ）求與的值；

（Ⅱ）設是上的一動點，以為切點作拋物線的切線，直線交軸于點，以、為鄰邊作平行四邊形，證明：點在一條定直線上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點所在的定直線為，    直線與軸交點為，連接交拋物線于、兩點，求△的面積的取值范圍．

【解析】第一問中利用圓： 的圓心為，半徑．由題設圓心到直線的距離．  

即，解得（舍去）

設與拋物線的相切點為，又，得，．     

代入直線方程得：，∴    所以，

第二問中，由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點．   ………………（2分）

設，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為．   

令，得切線交軸的點坐標為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形

∴ 因為是定點，所以點在定直線

第三問中，設直線，代入得結合韋達定理得到。

解：（Ⅰ）由已知，圓： 的圓心為，半徑．由題設圓心到直線的距離．  

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

設與拋物線的相切點為，又，得，．     

代入直線方程得：，∴    所以，．      ……（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點．   ………………（2分）

設，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為．   

令，得切線交軸的點坐標為    所以，，    ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，

∴ 因為是定點，所以點在定直線上．…（2分）

（Ⅲ）設直線，代入得，  ……）得，                 ……………………………     （2分）

，

．△的面積范圍是