已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第二問中，

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

【答案】

 (Ⅰ)    (Ⅱ)

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過直線x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)，則該橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)，
（ I）求橢圓C的方程；
（ I I）問是否存在直線l：y=
32
x+t，使直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為4？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•麗水一模）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過點(diǎn)P（2，3），且它的離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓（x+1）2+y2=1相切的直線l：y=kx+t交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)C滿足
OM
+
ON
=λ
OC
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C，其長軸長等于4，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)E（0，1），問是否存在直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線C的焦距為6，離心率等于3，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
 
．

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