江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

命題人：孫東升      審核人：張國良

注意：本試卷分必考和選考兩部分.必考內(nèi)容滿分160分，答卷時(shí)間120分鐘；選考內(nèi)容滿分40分，答卷時(shí)間30分鐘.

第Ⅰ部分  必考內(nèi)容

（滿分160分，答卷時(shí)間120分鐘）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在相應(yīng)位置上．

1.設(shè)集合，，若，則等于____________.

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2.若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則橢圓的離心率等于__________.

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3.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件發(fā)生的概率為        .

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4.已知x, y的取值如下表：

x

0

1

3

4

y

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2.2

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4.3

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4.8

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6.7

 

 

 

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從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為，則       ．

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5.若且_________.

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6.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是       ．

 

 

 

 

 

 

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7.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是           ．

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8.已知是兩條不重合的直線，是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：

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①若，，則；         ②若；

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③若；      ④若.

其中正確命題的序號有________.

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9.已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件（為虛數(shù)單位），則的最小值是      ．

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10.已知點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，其中，則等于__________.

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11.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問題：函數(shù)在上有意義,且,如果對于不同的,都有，求證：.那么他的反設(shè)應(yīng)該是___________.

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12.無論取何值時(shí)，方程的相異實(shí)根個(gè)數(shù)總是2，則的取值范圍為

_______.

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13.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)（在之間），且，，則的值為           ．

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14.設(shè)，是大于的常數(shù)，的最小值是16，則的值等于_____．

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二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15.（本小題滿分12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)．

 （1）求證：AE⊥D1F；

（2）證明平面AED⊥平面A1FD1．

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16.（本小題滿分12分）下面的莖葉圖是某班在一次測驗(yàn)時(shí)的成績，偽代碼用來同時(shí)統(tǒng)計(jì)女生、男生及全班成績的平均分.試回答下列問題：

(1) 在偽代碼中，“k=0”的含義是什么？橫線①處應(yīng)填什么？

(2) 執(zhí)行偽代碼，輸出S，T，A的值分別是多少？

(3) 請分析該班男、女生的學(xué)習(xí)情況．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，

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相鄰兩對稱軸間的距離大于等于

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(1)求的取值范圍；

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(2)在的面積.

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.（本小題滿分16分）已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線：上.

（1）求此橢圓的離心率；

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（2）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在圓上，求此橢圓的方程.

 

 

 

 

 

 

 

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19.（本小題滿分18分）設(shè)三次函數(shù)在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為.

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(1)求證：；

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(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

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(3)問是否存在實(shí)數(shù)（是與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)時(shí)，恒有恒成立？若存在，試求出的最小值；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

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20.（本小題滿分20分）設(shè)數(shù)列滿足：，且當(dāng)時(shí)，.

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 (1) 比較與的大小，并證明你的結(jié)論；

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 (2) 若，其中，求證：

 

 

 

 

 

第Ⅱ部分  加試內(nèi)容

（滿分40分，答卷時(shí)間30分鐘）

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一、解答題：本大題共2小題，每小題10分，共20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

1.在一次數(shù)學(xué)考試中, 第14題和第15題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為.

(1)其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率；

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(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的學(xué)生數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

 

 

 

 

 

 

 

 

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2.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB= FB=1．

（1）求直線EC1與FD1所成角的余弦值；

（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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二、解答題：本大題共2小題，每小題10分，共20分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

3.已知二階矩陣M有特征值及對應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成.

（1）求矩陣M；

（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系；

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（3）求直線：在矩陣M作用下所得到的直線的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).

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 （1）如果直線過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；

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 （2）如果證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研

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必做部分

1.  2.  3.   4.2.6   5.   6.640+80π    7.    8.①④   9. 10.

11.“,使得且”  12.  13.6  14.9

(12.圖13.作則因,故,)

15.（1）取AB的中點(diǎn)G，則易證得A1G∥D1F．

又正方形A1ABB1中，E、G分別是相應(yīng)邊的中點(diǎn)，

∴A1G⊥AE，∴D1F⊥AE．

（2）由正方體可知：A1 D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE ．

又由（1）已證：D1F⊥AE．

∵A1D1∩D1F= D1，∴AE⊥平面A1FD1 ．

又平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1 ．

 

16.（1）全班32名學(xué)生中，有15名女生，17名男生．在偽代碼中，根據(jù)“S←S/15，T←T/17”可以推知，“k=1”和“k=0”分別代表男生和女生；S，T，A分別代表女生、男生及全班成績的平均分；橫線①處應(yīng)填“（S+T）/32”．

（2）女生、男生及全班成績的平均分分別為S=78，T=76.88，A≈77.4.

（3）15名女生成績的平均分為78，17名男生成績的平均分為77.88．從中可以看出女生成績比較集中，整體水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比較男生兩極分化比較嚴(yán)重．

 

17.（1）

.，由題意可知

解得.

（2）由（Ⅰ）可知的最大值為1，.

，. 而，.

由余弦定理知，，聯(lián)立解得 .

18.（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達(dá)定理，得

 ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為().

 由已知得

 故橢圓的離心率為.

（2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為解得.由已知得 ，故所求的橢圓方程為.

 

19.(1)方法一：.由題設(shè)，得,  ①

.    ②

∵，∴，∴.

由①代入②得，∴，

得∴或.   ③

將代入中，得.  ④

由③、④得；

方法二：∵，∴，∴.

同上可得將（1）變?yōu)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/becb6ffa963118610bea4232cfd75ff5.zip/73200/江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷.files/image330.gif" >代入（2）可得 ，所以，則.

方法三：同上可得將（1）變?yōu)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/becb6ffa963118610bea4232cfd75ff5.zip/73200/江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷.files/image322.gif" >代入（2）可得，顯然，所以.

因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/becb6ffa963118610bea4232cfd75ff5.zip/73200/江蘇省前黃高級中學(xué)2008屆高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷.files/image300.gif" >圖象的開口向下，且有一根為x1=1,

由韋達(dá)定理得,.

,所以，即，則，

由得 ,所以 .

 (2)由（1）知，的判別式Δ=

∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，

又,∴，

∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是， .

由知.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，

∴，即的取值范圍是.

(3)由，即，∵，

，∴，∴或.(自注：視為的一次函數(shù))

由題意，得，∴.

∴存在實(shí)數(shù)滿足條件，即的最小值為.

 

20.（1）由于，則，

∴，∴.

（2）由于，由（1），則，，

而，則，∴；

    又,

   ∴.

,

∴.

而，且，故, ∴，因此.

從而

 

 

 

選做部分

1. (1)設(shè)事件表示“甲選做14題”,事件表示“乙選做14題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”,且事件、相互獨(dú)立.

∴ =.

(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4.且.

∴ .

所以變量的分布列為：

0

1

2

3

4

 

 

 

. (或)

 

2.以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz，則有

D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．

于是 ,．

（1）設(shè)EC1與FD1所成角為b，則．

（2）設(shè)向量與平面C1DE垂直，則有

．

∴其中z＞0．

取n0=(-1，-1，2)，則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量．

∵向量=（0，0，2）與平面CDE垂直，

∴n0與所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角．

∵，∴．

 

3.（1）設(shè)M=，則=8=，故

    =，故

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為，故其另一個(gè)特征值為.設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2，則M e2=，解得.

（3）設(shè)點(diǎn)是直線上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則

=，即，

代入直線的方程后并化簡得,即.

 

4.（1）拋物線焦點(diǎn)為（1，0）.

設(shè)：消去x得

,

則,

=.

（2）設(shè)：消去x，得.

,則y1+y2=4t ,y1y2=－4b.

=.

令，∴直線l過定點(diǎn)(2，0).

 

 


同步練習(xí)冊答案