1.分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。

    2.所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略。

    3.分類(lèi)原則：分類(lèi)對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論。

    4.分類(lèi)方法：明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類(lèi)；逐類(lèi)進(jìn)行討論，獲取階段性成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。

    5.含參數(shù)問(wèn)題的分類(lèi)討論是常見(jiàn)題型。

    6.注意簡(jiǎn)化或避免分類(lèi)討論。

例1.一條直線過(guò)點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（    ）

      A.                        B.

      C.             D.

分析：設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,

    當(dāng)a=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為；

    當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，方程為。

例2．

    分析：

    因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時(shí)，是一解還是兩解？這一點(diǎn)需經(jīng)過(guò)討論才能確定，故解本題時(shí)要分類(lèi)討論。對(duì)角A進(jìn)行分類(lèi)。

解：

    這與三角形的內(nèi)角和為180°相矛盾。

例3.已知圓x²+y²=4，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，4），且與圓相切的直線方程。

    分析：容易想到設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件：“圓心到切線的距離等于圓的半徑”，待定斜率k，從而得到所求直線方程，但要注意到：過(guò)點(diǎn)P的直線中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線是否也滿足題意呢？因此本題對(duì)過(guò)點(diǎn)P的直線分兩種情形：（1）斜率存在時(shí)，…（2）斜率不存在…

    解（略）：所求直線方程為3x-4y+10=0或x=2

例4.

    分析：解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，需要利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)符號(hào)的不等式。而對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論。

    解：

例5.

    分析：解無(wú)理不等式，需要將兩邊平方后去根號(hào)，以化為有理不等式，而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時(shí)為正時(shí)，才不改變不等號(hào)方向，因此應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需求分類(lèi)討論，對(duì)x分類(lèi)。

    解：

例6.

    分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類(lèi)：（1）a≠0（2）a=0，對(duì)于（2），不等式易解；對(duì)于（1），又需再次分類(lèi)：a>0或a<0，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點(diǎn)之后，又會(huì)遇到1與誰(shuí)大誰(shuí)小的問(wèn)題，因而又需作一次分類(lèi)討論。故而解題時(shí)，需要作三級(jí)分類(lèi)。

    解：

    綜上所述，得原不等式的解集為

；；

；；

。

例7.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，前n+1項(xiàng)之和為，公比q>0，令。

    分析：對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的計(jì)算，需根據(jù)q是否為1分為兩種情形：

    故還需對(duì)q再次分類(lèi)討論。

    解： 

例8.

    分析：

    解：（1）當(dāng)k=4時(shí)，方程變?yōu)?x²=0，即x=0，表示直線；

    （2）當(dāng)k=8時(shí)，方程變?yōu)?y²=0，即y=0，表示直線；

    （i）當(dāng)k<4時(shí)，方程表示雙曲線；（ii）當(dāng)4<k<6時(shí)，方程表示橢圓；

    （iii）當(dāng)k=6時(shí)，方程表示圓；（iv）當(dāng)6<k<8時(shí)，方程表示橢圓；

    （v）當(dāng)k>8時(shí)，方程表示雙曲線。

例9. 某車(chē)間有10名工人，其中4人僅會(huì)車(chē)工，3人僅會(huì)鉗工，另外三人車(chē)工鉗工都會(huì)，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車(chē)工，鉗工各3人，問(wèn)有多少種選派方案？

    分析：如果先考慮鉗工，因有6人會(huì)鉗工，故有C₆³種選法，但此時(shí)不清楚選出的鉗工中有幾個(gè)是車(chē)鉗工都會(huì)的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會(huì)車(chē)工，因此在選車(chē)工時(shí)，就無(wú)法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車(chē)工也會(huì)遇到同樣的問(wèn)題。因此需對(duì)全能工人進(jìn)行分類(lèi)：

（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。

    解：

分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對(duì)于何時(shí)需要分類(lèi)討論，則要視具體問(wèn)題而定，并無(wú)死的規(guī)定。但可以在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

如果對(duì)于某個(gè)研究對(duì)象，若不對(duì)其分類(lèi)就不能說(shuō)清楚，則應(yīng)分類(lèi)討論，另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對(duì)于一般情形是正確的，但對(duì)某些特殊情形或說(shuō)較為隱蔽的“個(gè)別”情況未必成立。這也是造成分類(lèi)討論的原因，因此在解題時(shí)，應(yīng)注意挖掘這些個(gè)別情形進(jìn)行分類(lèi)討論。常見(jiàn)的“個(gè)別”情形略舉以下幾例：

（1）“方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為時(shí)忽略了了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程有解不能轉(zhuǎn)化為△≥0；

（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式中有個(gè)別情形：時(shí)，公式不再成立，而是S_n=na₁。

 設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k，但有個(gè)別情形：當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線無(wú)斜率，應(yīng)另行考慮。

(4)若直線在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線方程為，但有個(gè)別情形：a=0時(shí)，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。

【模擬試題】

一. 選擇題：

  1. 若的大小關(guān)系為（    ）

    A.          B.

    C.          D. ；

  2. 若，且，則實(shí)數(shù)中的取值范圍是（    ）

    A.         B.

    C.          D.

  3. 設(shè)A=（    ）

    A. 1      B.      C.      D.

  4. 設(shè)的值為（    ）

    A. 1      B. 0          C. 7              D. 0或7

  5. 一條直線過(guò)點(diǎn)（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  6. 若（    ）

    A. 1          B.          C.      D. 不能確定

  7. 已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（    ）

    A.       B.

    C.         D. 以上均不對(duì)

  8. 函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（    ）

    A.       B.

    C.         D.

二. 填空題

  9. 若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為4和2的矩形，則圓柱的體積是______________。

  10. 若，則a的取值范圍為_(kāi)_______________。

  11. 與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_(kāi)___________。

  12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________種（用數(shù)字作答）

  13. 不等式的解集為_(kāi)____________。

三. 解答題：

  14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為，另一雙曲線與此橢圓有公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)軸小8，兩曲線的離心率之比為3：7，求此橢圓、雙曲線的方程。

  15. 設(shè)a>0且，試求使方程有解的k的取值范圍。

【試題答案】

一. 選擇題

  1. C     2. D       3. D       4. D       5. C       6. A       7. D       8. B

    提示：1. 欲比較p、q的大小，只需先比較的大小，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定的大小的a值的分界點(diǎn)為使

的a值：a=1，

    當(dāng)a>1時(shí)，此時(shí)

    當(dāng)即。

    可見(jiàn)，不論a>1還是0<a<1，都有p>q。

  2. 若，即

    若

    可見(jiàn)當(dāng)都有，故選（D）

  3. 若

    若，則，

  4. 由是1的7次方根，可得顯然，1是1的7次方根，故可能；若，則

    故選（D）

  5. 設(shè)該直線在x軸，y軸上的截距均為a,

    當(dāng)a=0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線方程為；

    當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，方程為

  6. 由

    于是總有，故選（A）

  7. 當(dāng)時(shí)，最大截面就是軸截面，其面積為；

    當(dāng)時(shí)，最大截面是兩母線夾角為的截面，其面積為

    可見(jiàn)，最大截面積為，故選（D）

  8. 當(dāng)時(shí)，滿足題意

    綜上可知，

    故選（B）

二. 填空題

  9.

    （提示：若長(zhǎng)為4的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，，則；若長(zhǎng)為2的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，則）

  10.

    （提示：對(duì)a分：兩種情況討論）

  11.

    （提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形）

  12. 4186種

    （提示：對(duì)抽取5件產(chǎn)品中的次品分類(lèi)討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：=4140+46

=4186）

  13. 若，則解集為

    若，則解集為

    （提示：設(shè)

    解之得

    對(duì)a分類(lèi)：時(shí)，

    ）

三. 解答題

  14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為

    ，依題意

    （2）若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為

    雙曲線方程為，依題意有

  15. 解：原方程可化為

    令

    則對(duì)原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的研究

    下圖畫(huà)出了的圖象，由圖象可看出

    （1）當(dāng)直線時(shí)，與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解；

    （2）當(dāng)直線圖象與雙曲線漸近線重合，顯然直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，即當(dāng)k=0時(shí)，原方程無(wú)解；

    （3）當(dāng)直線的縱截距滿足，即

時(shí)，直線與雙曲線總有交點(diǎn)，原方程有解。

    綜上所述，當(dāng)