2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)    學(xué)

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

 

第Ⅰ卷（選擇題，共60分）

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么                  球的表面積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)                       

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么

P(A?B)=P(A)?P(B)                      其中R表示球的半徑

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是       球的體積公式

P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k        

       次的概率               其中R表示球的半徑

 

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在                                               （    ）

       A．第一象限            B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限

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2．極限存在是函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的                                        （    ）

       A．充分而不必要的條件                          B．必要而不充分的條件

       C．充要條件                                           D．既不充分也不必要的條件

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3．設(shè)袋中有80個(gè)紅球，20個(gè)白球，若從袋中任取10個(gè)球，則其中恰有6個(gè)紅球的概率為

                                                                                                                              （    ）

       A．           B．           C．           D．

 

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4．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命

   題：①若； ②若；

       ③若；

       ④若m、n是異面直線，

       其中真命題是                                                                                                  （    ）

       A．①和②               B．①和③               C．③和④               D．①和④

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5．函數(shù)的反函數(shù)是                                                                  （    ）

       A．    B．  C．     D．

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6．若，則的取值范圍是                                                            （    ）

       A．            B．               C．                 D．

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7．在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，

   則                                                                                                                     （    ）

       A．        B．          C．      D．

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8．若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m，則m的范

   圍是                                                                                                                  （    ）

       A．（1，2）             B．（2，+∞）          C．[3，+∞           D．（3，+∞）

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9．若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為（    ）

       A．8或－2              B．6或－4               C．4或－6               D．2或－8

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10．已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實(shí)數(shù)，

    ，若，則                               （    ）

       A．                B．                C．           D．

 

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11．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，

       則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是                                       （    ）

       A．2+          B．                  C．         D．21

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12．一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是                                 （    ）

 

 

 

A              B                   C                  D

第Ⅱ卷（非選擇題  共90分）

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是             .

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14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，C、D分別是兩條棱的中點(diǎn)，

       A、B、M是頂點(diǎn)，那么點(diǎn)M到截面ABCD的距離是         .

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15．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，

    5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有          個(gè).（用數(shù)字作答）

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16．是正實(shí)數(shù)，設(shè)是奇函數(shù)}，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)，的元素不超過2個(gè)，且有使含2個(gè)元素，則的取值范圍是       .

已知三棱錐P―ABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，

△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

   （Ⅰ）證明PC⊥平面PAB；

   （Ⅱ）求二面角P―AB―C的平面角的余弦值；

   （Ⅲ）若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12π的

         球面上，求△ABC的邊長(zhǎng).

 

 

 

 

 

       如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、

鄰邊互相垂直的十字形，其中

   （Ⅰ）將十字形的面積表示為的函數(shù)；

   （Ⅱ）為何值時(shí)，十字形的面積最大？最大面積是多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

19．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足

   （Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；

   （Ⅱ）證明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí).對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.

   （Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)

         果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)

         出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；

   （Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用ξ、

         η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在

        （I）的條件下，求ξ、η的分布列及

Eξ、Eη；

   （Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額

         如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.

         金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)

         品的數(shù)量，在（II）的條件下，x、y為何

         值時(shí)，最大？最大值是多少？

        （解答時(shí)須給出圖示）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分14分）

   （Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明；

   （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；

   （Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，

         使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2

              的正切值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分12分）

       函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)

是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù)

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）證明：當(dāng)；

   （Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，

         求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

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說明：

一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

 

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.

1.B  2.B  3.D  4.D  5.C  6.C  7.C  8.B  9.A  10.A  11.B  12.A

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。

13．－160     14．    15．576     16．

三、解答題

17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考

（Ⅰ）證明： 連結(jié)CF.

……4分

（Ⅱ）解法一：

為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則AB=a，則

……………………8分

解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. ≌≌

得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 為所求二面角的平面角.

設(shè)AB=a，則   …………8分

（Ⅲ）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R.

，的邊長(zhǎng)為.………12分

解法二：延長(zhǎng)PO交球面于D，那么PD是球的直徑.

連結(jié)OA、AD，可知△PAD為直角三角形.  設(shè)AB=x，球半徑為R.

.……12分

18．本小題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和

三角函數(shù)有關(guān)的極值問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的能力. 滿分12分.

（Ⅰ）解：設(shè)S為十字形的面積，則 

………………4分

（Ⅱ）解法一：

其中………8分   當(dāng)最大.……10分

所以，當(dāng)最大. S的最大值為…………12分

解法二： 因?yàn)?nbsp;所以

……………………8分

令S′=0，即

可解得  ………………10分

所以，當(dāng)時(shí)，S最大，S的最大值為  …………12分

19．本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力，滿分12分。

   （Ⅰ）證明：當(dāng)  因?yàn)?i>a1=1，

所以 ………………2分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

   （1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=，不等式成立，

   （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

那么     ………………6分

    

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立。  …………8分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，

所以 

…………10分 

故對(duì)任意………………（12分）

20．（本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建

立與求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查通過建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題的能力，滿分12

分.

（Ⅰ）解：…………2分

（Ⅱ）解：隨機(jī)變量、的分別列是

 

5

2.5

P

0.68

0.32

 

2.5

1.5

P

0.6

0.4

 

 

 

 

 …………6分

作出可行域（如圖）：

作直線 

將l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上

的點(diǎn)M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)                …………10分

取最大值. 解方程組     

       得即時(shí)，z取最大值，z的最大值為25.2 .……………12分

21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)

用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.滿分14分.

由P在橢圓上，得

由，所以 ………………………3分

證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記

則

由

證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為

      由橢圓第二定義得，即

       由，所以…………………………3分

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 

           當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.

當(dāng)|時(shí)，由，得.

又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).

在△QF1F2中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是…………………………7分

解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上.

       當(dāng)|時(shí)，由，得.

       又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).

       設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則

       因此                          ①

       由得        ②

       將①代入②，可得

       綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是……………………7分

   （Ⅲ）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

        

       由③得，由④得  所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分

       當(dāng)時(shí)，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

        

       由④得  上式代入③得

       于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；

       當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.………………………11分

       當(dāng)時(shí)，記，

       由知，所以…………14分

22．本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問題的能力.滿分12分

   （Ⅰ）解：…………………………………………2分

   （Ⅱ）證明：令

        因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；

        當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的

最小值為0，因此即…………………………6分

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

        對(duì)任意成立的充要條件是

       

       另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為

       于是的充要條件是…………………………10分

       綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

                                                  ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

       對(duì)任意成立的充要條件是

        ………………………………………………………………8分

       令，于是對(duì)任意成立的充要條件是

        由

       當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即………………10分

       綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

                ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式  ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.…………12分

 

 

 


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