Question

14．如圖所示，條形區(qū)域AA′、BB′中存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.3T，AA′、BB′為磁場(chǎng)邊界，它們相互平行，條形區(qū)域的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，寬度d=1m．一束帶正電的某種粒子從AA′上的O點(diǎn)以大小不同的速度沿著與AA′成60°角方向射入磁場(chǎng)，當(dāng)粒子的速度小于等于某一值v₀時(shí)，粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間始終為$\frac{4π}{3}$×10^-8s，不計(jì)粒子所受重力．
（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$
（2）求速度v₀的大小
（3）當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出磁場(chǎng)，求速度v₁的大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式結(jié)合t=$\frac{θ}{2π}$T解得粒子的比荷，應(yīng)用洛倫茲力提供向心力解出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系式解得速度．

解答 解：（1）若粒子的速度小于某一值v₀時(shí)，則粒子不能從BB′離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域，只能從AA′邊離開(kāi)，無(wú)論粒子速度大小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，軌跡如圖所示（圖中只畫(huà)了一個(gè)粒子的軌跡）．

粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角均為φ₁=240°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₀=$\frac{2}{3}$T，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{q}{m}$≈3.33×10⁸C/kg
（2）當(dāng)粒子速度為v₀時(shí)，粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡剛好與BB′邊界相切，此時(shí)有
R₀+R₀sin30°=d  ①
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$  ②
由①②解得：v₀=6.67×10⁷m/s
（3）當(dāng)粒子速度為v₁時(shí)，剛好垂直邊界BB′射出磁場(chǎng)區(qū)域，此時(shí)軌跡所對(duì)圓心角φ₂=30°，由R₁sin30°=d   ③
由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$  ④
由③④解得：v₁≈2×10⁸m/s  
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為3.33×10⁸C/kg；
（2）速度v₀為6.67×10⁷m/s；
（3）速度v₁為2×10⁸m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題解題的關(guān)鍵在于畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，分析粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期與磁場(chǎng)變化周期的關(guān)系．粒子圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間往往根據(jù)軌跡的圓心角與周期的關(guān)系確定，t=$\frac{θ}{2π}$T，θ為轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角．