Question

3．如圖甲所示，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，M、P之間接電阻箱R，導(dǎo)軌所在空間存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.5T．質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，且與軌道垂直，金屬桿ab接入電路的電阻值為r．現(xiàn)從靜止釋放桿ab，測得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關(guān)系如圖乙所示．已知軌道間距為L=2m，重力加速度g取10m/s²，軌道足夠長且電阻不計(jì)．

（1）當(dāng)R=0時(shí)，求桿ab勻速下滑時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢E的大小，并判斷桿中的電流方向；
（2）求解金屬桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，從靜止釋放ab桿，在ab桿加速運(yùn)動(dòng)的過程中，回路瞬時(shí)電功率每增加1W 時(shí)，合外力對桿做功多少？

Answer 1

分析 （1）ab桿勻速下滑時(shí)速度最大，當(dāng)R=0時(shí)，由乙圖讀出最大速度，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢，由右手定則判斷感應(yīng)電流的方向；
（2）根據(jù)E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$及平衡條件，推導(dǎo)出桿的最大速度v與R的表達(dá)式，結(jié)合圖象的意義，求解桿的質(zhì)量m和阻值r；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，讀出最大速度．由E=BLv和功率公式$P=\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到回路中瞬時(shí)電功率的變化量，再根據(jù)動(dòng)能定理求解合外力對桿做的功W．

解答 解：（1）由圖可知，當(dāng)R=0 時(shí)，桿最終以v=2m/s勻速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生電動(dòng)勢 E=BLv=0.5×2×2V=2V
由右手定則判斷得知，桿中電流方向從b→a
（2）設(shè)最大速度為v，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢 E=BLv
由閉合電路的歐姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$
桿達(dá)到最大速度時(shí)滿足 mgsinθ-BIL=0
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}R+\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}r$
由圖象可知：斜率為$k=\frac{4-2}{2}m/（s•Ω）$=1m/（s•Ω），縱截距為v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}r={v}_{0}$
$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}=k$
解得：m=0.2kg，r=2Ω；
（3）由題意：E=BLv，
P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
得 $P=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，則
$△P=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$
由動(dòng)能定理得
W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立得 $W=\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}△P$
代入解得 W=0.6J
答：（1）當(dāng)R=0時(shí)，桿a b勻速下滑過程中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢E的大小是2V，桿中的電流方向從b→a；
（2）金屬桿的質(zhì)量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）當(dāng)R=4Ω時(shí)，回路瞬時(shí)電功率每增加1W的過程中合外力對桿做的功W是0.6J．

點(diǎn)評 電磁感應(yīng)問題經(jīng)常與電路、受力分析、功能關(guān)系等知識相結(jié)合，是高中知識的重點(diǎn)，該題中難點(diǎn)是第三問，關(guān)鍵是根據(jù)物理規(guī)律寫出兩坐標(biāo)物理量之間的函數(shù)關(guān)系．