Question

20．如圖所示，天花板上有固定轉(zhuǎn)軸O，長為L的輕桿一端可繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，另一端固定一質(zhì)量為M的小球．一根不可伸長的足夠長輕繩繞過定滑輪A，一端與小球相連，另一端掛著質(zhì)量為m₁的鉤碼，定滑輪A的位置可以沿OA連線方向調(diào)整．小球、鉤碼均可看作質(zhì)點，不計一切摩擦，g取10m/s²．
（1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當(dāng)輕桿與水平方向夾角為30°時小球恰能保持靜止?fàn)顟B(tài)，求小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比；
（2）若在輕繩下端改掛質(zhì)量為m₂的鉤碼，且M：m₂=4：1，并將OA間距調(diào)整為$\frac{4}{3}$L，然后將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，求小球與鉤碼速度大小相等時輕桿與水平方向的夾角θ；
（3）在（2）的情況下，測得桿長L=2.175m，仍將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，當(dāng)輕桿轉(zhuǎn)至豎直位置時，小球突然與桿和繩脫離連接而向左水平飛出，求當(dāng)鉤碼上升到最高點時，小球與O點的水平距離．

Answer 1

分析 （1）先據(jù)幾何關(guān)系找出角度關(guān)系，據(jù)平衡態(tài)列方程求解；（2）利用圓周運動的知識，找出二者速度相等的條件即可求解；（3）據(jù)機械能守恒和運動規(guī)律求出速度，再求出時間，據(jù)此求出距離．

解答 解：（1）依題意，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)時，∠AOM=30°，由幾何關(guān)系知，此時∠OAM=30°．
分析小球受力，設(shè)輕桿對其彈力大小為F，方向沿桿向上，輕繩對其彈力大小為T，則
Fcos30°=Tcos30°
Fsin30°+Tsin30°=Mg
解得：M=m₁，即M：m₁=1：1．
（2）小球繞O點作圓周運動，其速度方向始終沿垂直于輕桿方向，只有當(dāng)輕繩也與輕桿垂直時，小球與鉤碼的速度相等，此時：$cosθ=\frac{L}{\frac{4}{3}L}=\frac{3}{4}$，
θ=arccos$\frac{3}{4}$≈41.4°
（3）小球與鉤碼構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，有：
MgL-mg[$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{4L}{3}）^{2}}\\;\\;-（\frac{4}{3}L-L）$-（$\frac{4L}{3}-L$）]=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
又M：m₂=4：1
設(shè)此時輕繩與水平方向夾角為α，則$tanα=\frac{L}{\frac{4L}{3}}=\frac{3}{4}$，所以α=37°．
v₁cosα=v₂
解得：v₁=5m/s/，v₂=4m/s．
鉤碼做豎直上拋運動，上升到最高點的時間為：t=$\frac{{v}_{2}}{g}=\frac{4}{10}s$=0.4s
小球離開桿后做平拋運動，此時它與O點的水平距離為：
s=v₁t=5×0.4m=2m．
答：1）若將OA間距調(diào)整為$\sqrt{3}$L，則當(dāng)輕桿與水平方向夾角為30°時小球恰能保持靜止?fàn)顟B(tài)，求小球的質(zhì)量M與鉤碼的質(zhì)量m₁之比1：1．
（2）若在輕繩下端改掛質(zhì)量為m₂的鉤碼，且M：m₂=4：1，并將OA間距調(diào)整為$\frac{4}{3}$L，然后將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，求小球與鉤碼速度大小相等時輕桿與水平方向的夾角為41.4°；
（3）在（2）的情況下，測得桿長L=2.175m，仍將輕桿從水平位置由靜止開始釋放，當(dāng)輕桿轉(zhuǎn)至豎直位置時，小球突然與桿和繩脫離連接而向左水平飛出，求當(dāng)鉤碼上升到最高點時，小球與O點的水平距離2m．

點評 本題難度較大，分清楚物體的受力情況和運動情況 是解題的 關(guān)鍵；靈活應(yīng)用和運動與分運動的關(guān)系、機械能守恒和運動規(guī)律求出速度，再求出時間，據(jù)此求出距離是解題的核心．