Question

4．如圖所示，光滑的弧形軌道AB和兩個粗糙的半圓軌道組成翹尾巴的S形軌道．粗糙的半圓軌道半徑為R，兩個半圓軌道連接處CD之間留有很小空隙，能夠使小球通過，CD之間距離可忽略．光滑弧形軌道最高點(diǎn)A與水平面上B點(diǎn)之間的高度為h=7R．從A點(diǎn)靜止釋放一個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球沿翹尾巴的S形軌道恰能過最高點(diǎn)E．已知小球質(zhì)量為m，不計空氣阻力，求：
（1）小球運(yùn)動到圓弧軌道的B點(diǎn)時對軌道的壓力（設(shè)此處圓弧半徑為R）；
（2）小球沿翹尾巴S形軌道運(yùn)動時克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程，只有重力做功，遵守機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求出小球經(jīng)過B點(diǎn)時的速度．在B點(diǎn)，沿半徑方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對球的彈力，從而根據(jù)牛頓第三定律求出小球?qū)︓壍赖膲毫Γ?br />（2）在E點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過E點(diǎn)的速度，再由動能定理求克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程，機(jī)械能守恒，則有
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mg•7R
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$                          
得：F=15mg                              
由牛頓第三定律知：小球到B點(diǎn)時壓力為 F′=F=15mg，方向豎直向下．
（2）設(shè)小球沿翹尾巴的S形軌道運(yùn)動時克服摩擦力做的功為W_f．
小球從B點(diǎn)運(yùn)動到E點(diǎn)的過程，由動能定理：
-mg•4R-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$                 
在E點(diǎn)：mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$                               
得  W_f=$\frac{5}{2}$mgR
答：
（1）小球運(yùn)動到圓弧軌道的B點(diǎn)時對軌道的壓力大小為15mg，方向豎直向下；
（2）小球沿翹尾巴S形軌道運(yùn)動時克服摩擦力做的功是$\frac{5}{2}$mgR．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清運(yùn)動的過程，把握每個過程和狀態(tài)的規(guī)律，知道豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)由合外力提供向心力．