Question

6．如圖1所示，勻強磁場的磁感應強度B為0.5T，其方向垂直于傾角面向上．絕緣斜面上固定有A形狀的光滑金屬導軌MON（電阻忽略不計），MO和NO長度均為2.5m，MN連線水平，長為3m．以O為原點，在垂直于MN的方向上建立一維坐標系Ox．一根粗細均勻的金屬桿PQ，長度d為3m，質(zhì)量m為1kg，電阻R為0.3Ω，在沿+x方向的拉力F作用下，F(xiàn)-x關系如圖2所示直線，從O點靜止開始在導軌上沿x軸正向做勻加速直線運動（金屬桿與導軌接觸良好），斜面的傾角是30°，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）金屬桿PQ從O點運動到MN端的加速度a，及推導拉力F與時間t的關系式．
（2）金屬桿PQ運動到x=0.8m處電勢差U_PQ．
（3）金屬桿PQ從O點運動到MN端的全過程產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）結合圖中的數(shù)據(jù)，分別表達出桿在O點和在x=2m處的加速度的表達式，結合運動學的公式即可求出加速度；寫出法拉第電磁感應定律的表達式與電流的表達式結合牛頓第二定律即可求出F與t的關系；
（2）金屬桿切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，由幾何關系求得x=0.8m處的電動勢，由歐姆定律即可求得PQ之間的電勢差；
（3）金屬桿向上運動的過程中，拉力、重力和安培力做功，由功能關系即可求出產(chǎn)生焦耳熱．

解答 解：（1）由幾何關系得導軌沿x方向的長度：${x}_{m}=\sqrt{{\overline{OM}}^{2}-（\frac{\overline{MN}}{2}）^{2}}=\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}=2.0$m
金屬桿開始運動時，回路中產(chǎn)生的感應電動勢為0，金屬桿只受到重力和拉力的作用，由牛頓第二定律得：
F₀-mgsinθ=ma
金屬桿運動至x=2m處，即在MN處產(chǎn)生的有效感應電動勢E：$E=B•\overline{MN•}v$，安培力：${F}_{安}=BI•\overline{MN}$
由牛頓第二定律得：F₂-mgsinθ-F_安=ma
將圖中的數(shù)據(jù)代入，F(xiàn)₀=6N，F(xiàn)₂=21N，整理得：
v=2m/s，θ=30°
金屬桿做勻加速直線運動，則：v=at，${x}_{m}=\frac{v}{2}•t$
聯(lián)立解得：a=1m/s²
由幾何關系可知，金屬桿接入電路的有效長度與x的關系：
$\frac{{L}_{有效}}{x}=\frac{\overline{MN}}{{x}_{m}}$
所以：${L}_{有效}=\frac{3}{2}•x=1.5x$
位移：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
速度：v=at
安培力：$F′=\frac{{B}^{2}{L}_{有效}^{2}•v}{R}=\frac{{B}^{2}•（1.5x）^{2}•v}{\frac{0.3}{3}•x}$
由牛頓第二定律：F-F′-mgsinθ=ma
聯(lián)立解得：$F=6+\frac{45}{32}{t}^{3}$
（2）運動到x=0.8m處時的速度：${v}_{1}=\sqrt{2a{x}_{1}}=\sqrt{2×1×0.8}=\sqrt{1.6}=0.4\sqrt{10}$m/s
由于除PQ金屬桿外，其他處沒有電阻，所以其他處沒有電壓，所以電源是被短接的，那么接入電路中的部分兩端的電壓等于接入部分的電動勢，所以PQ兩端的電壓等于PQ上產(chǎn)生的電動勢，又由右手定則判斷Q點電勢高，所以：
${U}_{QP}={E}_{1}=BL．{v}_{1}=0.5×0.4\sqrt{10}×0.3$=$0.6\sqrt{10}$V
則：${U}_{PQ}=-{U}_{QP}=-0.6\sqrt{10}$V
（3）由F-x圖象可知，圖線與x軸圍成飛面積為F做的功，即：${W}_{F}=\frac{{F}_{0}+{F}_{2}}{2}•{x}_{m}=\frac{6+21}{2}×2=27$J
金屬桿向上運動的過程中，拉力、重力和安培力做功，重力做負功：W_G=mgsinθ=1×10×2×sin30°=10J
由功能關系得：Q=W_F-W_G=27-10=17J
解得產(chǎn)生的焦耳熱是：17J
答：（1）金屬桿PQ從O點運動到MN端的加速度是1m/s²，及推導拉力F與時間t的關系式為$F=6+\frac{45}{32}{t}^{3}$．
（2）金屬桿PQ運動到x=0.8m處電勢差${U}_{PQ}=-0.6\sqrt{10}$V．
（3）金屬桿PQ從O點運動到MN端的全過程產(chǎn)生的焦耳熱17J

點評 考查法拉第電磁感應定律，閉合電路歐姆定律，共點力平衡條件及安培力表達式．本題突破口：產(chǎn)生感應電流與導體棒有效長度無關，同時巧用安培力與位移成線性關系，由安培力平均值來求焦耳熱．
第三小問另一種解法：設導體棒經(jīng)t時間沿導軌勻速向下運動的位移為x，則t時刻導體棒切割的有效長度L_x=L-2x，求出導體棒在導軌上運動時所受的安培力，作出安培力大小隨位移x變化的圖象，圖象與坐標軸圍成面積表示導體棒克服安培力作功，也為產(chǎn)生的焦耳熱．