Question

18．游藝場(chǎng)里的雙重過山車可以簡(jiǎn)化為圖甲所示的物理模型，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化成圖乙所示的示意圖．圓軌道A的半徑為R=0.9m，圓軌道B的半徑r=0.4m．設(shè)整個(gè)軌道光滑．一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小球從O點(diǎn)靜止開始沿光滑軌道下滑．小球恰能通過圓軌道A的最高點(diǎn)，則：
（1）小球在圓軌道A的最高點(diǎn)的速度多大？
（2）O點(diǎn)到最低點(diǎn)的高度差h多大？
（3）若整個(gè)軌道是粗糙的，小球仍從O點(diǎn)靜止開始下滑，卻只能恰好通過圓軌道B的最高點(diǎn)，則此過程小球克服摩擦力做功是多少？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過圓軌道A的最高點(diǎn)，即在最高點(diǎn)只由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得最高點(diǎn)的速度；
（2）由動(dòng)能定理可求高度差；
（3）先由牛頓第二定律求得B最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球恰能通過圓軌道A的最高點(diǎn)，即在最高點(diǎn)只由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s．
（2）從O到A的最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv_A²-0
代入數(shù)據(jù)解得：h=2.25m
（3）小球恰能通過圓軌道B的最高點(diǎn)，即在最高點(diǎn)只由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：v_B=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s．
設(shè)此過程小球克服摩擦力做功為W_f，從O到B的最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得：mg（h-2r）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=12.5J．
答：（1）小球在圓軌道A的最高點(diǎn)的速度為3m/s；
（2）O點(diǎn)到最低點(diǎn)的高度差為2.25m；
（3）此過程小球克服摩擦力做功是12.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是動(dòng)能定理和向心力知識(shí)的綜合應(yīng)用．關(guān)鍵要分析臨界狀態(tài)，挖掘小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的臨界條件．同時(shí)要注意圓軌道的模型與細(xì)繩拴球的模型相似，但桿子模型不同．本題的圓軌道屬于“輕繩”模型，求最高點(diǎn)的臨界速度是解答此題的關(guān)鍵，同時(shí)全過程分析使用動(dòng)能定理更為簡(jiǎn)捷．