Question

2．如圖所示，水平光滑地面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車，小車左端靠在豎直墻壁上，其左側(cè)半徑為R的四分之一圓弧軌道AB是光滑的，軌道最低點(diǎn)B與水平軌道BC相切，BC=2R，整個(gè)軌道處于同一豎直面內(nèi)，將質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)，其中M=2m）從A點(diǎn)無初速釋放，物塊與小車上表面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，試分析物塊能否從BC上掉下，如果掉下請(qǐng)說明理由，如果不能掉下，求出物塊相對(duì)BC運(yùn)動(dòng)的位移大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)動(dòng)能定理求得滑塊下落至B點(diǎn)時(shí)的速度，滑塊從B向C滑動(dòng)時(shí)，滿足系統(tǒng)動(dòng)量守恒，求出滑塊和小車在水平面上一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的共同速度，再根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)求出滑塊相對(duì)小車滑動(dòng)的距離．

解答 解：根據(jù)動(dòng)能定理可知，小車滑至B點(diǎn)時(shí)的速度，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
滑塊在B點(diǎn)的速度${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
滑塊滑至B點(diǎn)后在小車上繼續(xù)滑動(dòng)時(shí)，小車和滑塊組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，故兩者最終共同的速度滿足：
mv_B=（M+m）v
共同速度$v=\frac{m}{M+m}{v}_{B}=\frac{1}{3}\sqrt{2gR}$
此過程中，滑塊受到小車動(dòng)摩擦力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)，故滑塊產(chǎn)生的加速度$a=\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，滑塊的位移
${x}_{1}=\frac{{v}^{2}-{v}_{B}^{2}}{-2a}=\frac{16R}{9}$
小車在摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度$a′=\frac{f}{M}=\frac{μmg}{2m}=\frac{1}{4}g$
所以小車的位移：${x}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2×a′}=\frac{\frac{1}{9}×2gR}{2×\frac{1}{4}g}=\frac{4}{9}R$
所以滑塊在小車上滑動(dòng)的距離$△x={x}_{1}-{x}_{2}=\frac{16}{9}R-\frac{4}{9}R=\frac{4}{3}R$
由于△x＜2R
所以滑塊沒有從車上滑下來，最終停在距B點(diǎn)$\frac{4}{3}R$處．
答：物塊最終不能從BC上滑下來，滑塊相對(duì)于BC運(yùn)動(dòng)的距離大小為$\frac{4}{3}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查動(dòng)能定理，關(guān)鍵是分析選擇好運(yùn)動(dòng)的過程，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是正確解題的關(guān)鍵．