Question

20．如圖所示是一個(gè)半球形透明物體的側(cè)視圖，現(xiàn)在有一細(xì)束單色光沿半徑OA方向入射，保持入射方向不變，不考慮光線在透明物體內(nèi)部的反射．
（i）將細(xì)光束平移到距O點(diǎn)$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$R處的c點(diǎn)，此時(shí)透明體左側(cè)恰好不再有光線射出，求透明體對該單色光的折射率；
（ii）若細(xì)光束平移到距0點(diǎn) 0.5R 處，求出射光線與0A軸線的交點(diǎn)距0點(diǎn)的距離？

Answer 1

分析 （i）透明體左側(cè)恰好不再有光線射出時(shí)，光線發(fā)生了全反射，畫出光路圖，由幾何關(guān)系求解臨界角，從而由公式n=$\frac{1}{sinC}$求解折射率．
（ii）光束由D點(diǎn)水平射入，在E點(diǎn)發(fā)生折射，由折射定律求出折射角，再由幾何知識求解．

解答 解：（i）如圖所示，光束由C處水平射入，在B處發(fā)生全反射，∠OBC為臨界角
由臨界角公式：sinC=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}R}}{R}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ ①
解得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{3}$ ②
（ii）如圖所示，光束由D點(diǎn)水平射入，在E點(diǎn)發(fā)生折射，
入射角為∠OED=α，折射角為∠NEF=β，
折射率n=$\frac{sinβ}{sinα}=\sqrt{3}$ ③
sinα=$\frac{{\frac{1}{2}R}}{R}=\frac{1}{2}$ ④
由①②解得：sinβ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，β=60°    ⑤
由幾何關(guān)系可知：∠FOE=α，⑥
∠OFE=β-α=α，⑦
則出射光線與OA軸線的交點(diǎn)F與O點(diǎn)的距離為：OF=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R     
答：
（i）透明體對該單色光的折射率是$\sqrt{3}$；
（ii）出射光線與0A軸線的交點(diǎn)距0點(diǎn)的距離是$\sqrt{3}$R．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵作出光路圖，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，結(jié)合折射定律進(jìn)行求解．