Question

15．如圖所示，在半徑分別為r和2r的同心圓（圓心在O點(diǎn)）所形成的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．在大圓邊界上A點(diǎn)有一粒子源，垂直AO向左發(fā)射一質(zhì)量為m，電荷量為+q，速度大小$\frac{qBr}{m}$的粒子．求：
（1）若粒子能進(jìn)入磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，則該粒子第一次到達(dá)磁場小圓邊界時，粒子速度相對于初始方向偏轉(zhuǎn)的角度；
（2）若粒子每次到達(dá)磁場大圓邊界時都未從磁場中射出，那么至少經(jīng)過多長時間該粒子能夠回到出發(fā)點(diǎn)A．

Answer 1

分析 （1）作出粒子運(yùn)動規(guī)律，由幾何知識求出粒子的偏角．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，應(yīng)用牛頓第二定律與粒子的周期公式可以求出粒子運(yùn)動時間．

解答 解：（1）如圖1所示，粒子做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)初速度為v₀，
軌跡半徑為R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=r，如圖所示：

粒子將沿著AB弧（圓心在O₁）運(yùn)動，
交內(nèi)邊界于B點(diǎn)．△OO₁B為等邊三角形，則∠BO₁O=60°，粒子的軌跡AB弧對應(yīng)的圓心角為∠BO₁A=120°，
則速度偏轉(zhuǎn)角為120°．
（2）粒子從B點(diǎn)進(jìn)入中間小圓區(qū)域沿直線BC運(yùn)動，又進(jìn)入磁場區(qū)域，
經(jīng)偏轉(zhuǎn)與外邊界相切于D點(diǎn)．在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖所示，

粒子在磁場區(qū)域運(yùn)動的時間：t₁=3×$\frac{\frac{4}{3}π}{2π}$×T=2T，周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
每通過一次無磁場區(qū)域，粒子在該區(qū)域運(yùn)動的距離：l=2rcos30°=$\sqrt{3}$r，
粒子在無磁場區(qū)域運(yùn)動的總時間：t₂=$\frac{3l}{{v}_{0}}$，
代入：v₀=$\frac{qBr}{m}$，解得：t₂=$\frac{3\sqrt{3}m}{qB}$，
則粒子回到A點(diǎn)所用的總時間：t=t₁+t₂=$\frac{（4π+3\sqrt{3}）m}{qB}$；
答：（1）粒子速度相對于初始方向偏轉(zhuǎn)的角度為120°；
（2）若粒子每次到達(dá)磁場大圓邊界時都未從磁場中射出，那么至少經(jīng)過時間$\frac{（4π+3\sqrt{3}）m}{qB}$該粒子能夠回到出發(fā)點(diǎn)A．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在磁場中的運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程，應(yīng)用牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動的周期公式即可正確解題．