Question

8．某行星自轉(zhuǎn)周期為T，赤道半徑為R，科學(xué)家經(jīng)過嚴(yán)密計(jì)算發(fā)現(xiàn)若該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮瑢?huì)導(dǎo)致該星球赤道上物體恰好對(duì)行星表面沒有壓力，已知萬有引力常量為G，則以下說法中正確的是（　�。�

• A． 該行星質(zhì)量為$\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}}}$
• B． 該星球的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{4}$R
• C． 該行星赤道上質(zhì)量為m的物體對(duì)地面的壓力為F_N=$\frac{{16m{π^2}R}}{T^2}$
• D． 該行星的第一宇宙速度為v=$\frac{2πR}{T}$

Answer 1

分析 由“該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉韮杀稌r(shí)，將導(dǎo)致該星球赤道上物體將恰好對(duì)行星表面沒有壓力”可知此時(shí)赤道上的物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力充當(dāng)向心力，據(jù)此可得該行星的質(zhì)量．同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力提供向心力的周期表達(dá)式可得同步衛(wèi)星的軌道半徑．行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，進(jìn)而可知壓力大�。蓤A周運(yùn)動(dòng)的公式求行星的第一宇宙速度．

解答 解：A、該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉韮杀叮瑒t周期將變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，即為$\frac{1}{2}$T，由題意可知此時(shí)該星球赤道上物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力充當(dāng)向心力，則有：  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{1}{2}T）^{2}}$，解得該行星質(zhì)量為：M=$\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A錯(cuò)誤； B、該星球的同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，結(jié)合 M=$\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，解得：該星球的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{4}$R，故B正確；
C、行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力：mg-F_N′=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，又：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{1}{2}T）^{2}}$，解得：F_N′=$\frac{12m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，由牛頓第三定律可知質(zhì)量為m的物體對(duì)行星赤道地面的壓力為F_N=F_N′=$\frac{12m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故C錯(cuò)誤；
D、該行星的第一宇宙速度為 v=$\frac{2πR}{T′}$，T′是近地衛(wèi)星的周期，根據(jù)開普勒第三定律知，T′＜T（同步衛(wèi)星的周期），故得v＞$\frac{2πR}{T}$，故D錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 通過本題的練習(xí)要明確行星自轉(zhuǎn)的時(shí)候，地面物體萬有引力等于重力沒錯(cuò)，但是不是重力全部用來提供向心力，而是重力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物體恰好對(duì)行星表面沒有壓力”時(shí)才由重力充當(dāng)向心力．