Question

1．如圖所示，半圓有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓心O₁在X軸上，OO₁距離等于半圓磁場(chǎng)的半徑，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁．虛線MN，平行X軸且與半圓相切于P點(diǎn)．在MN上方是正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿X軸負(fù)向，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂．B₁，B₂方向均垂直紙面，方向如圖所示．有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點(diǎn)O射入第I象限，其中沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入MN后，恰好在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q （粒子重力不計(jì)）．求：
（1）粒子初速度大小和有界半圓磁場(chǎng)的半徑．
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)．
（3）試證明：題中所有從原點(diǎn)O進(jìn)入第I象限的粒子都能在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 （1）在MN上方，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解速度；
粒子從O到P過(guò)程，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在OP連線的角平分線上；初速度沿x軸正方向，洛倫茲力指向圓心，提供向心力，結(jié)合左手定則可知，圓心一定在y軸上，故M點(diǎn)為軌跡圓的圓心；
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子做類似平拋運(yùn)動(dòng)，平行y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，平行x軸方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可；
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)粒子受力情況分析證明．

解答 解：（1）在MN上方，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，故qv₀B₂=Eq，則：v₀=$\frac{E}{{B}_{2}}$，
由題意知粒子在磁場(chǎng)B₁中圓周運(yùn)動(dòng)半徑與該磁場(chǎng)半徑相同，
由牛頓第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mE}{q{B}_{1}{B}_{2}}$；
（2）在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)：
x=R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，y=v₀t，
解得：y=$\frac{mE}{q{B}_{2}}$$\sqrt{\frac{2}{{B}_{1}{B}_{2}}}$，
則：y′=y+R=$\frac{mE}{q{B}_{2}}$（$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\sqrt{\frac{2}{{B}_{1}{B}_{2}}}$）；
（3）證明：設(shè)從O點(diǎn)入射的任一粒子進(jìn)入B₁磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與x軸成θ角，粒子出B₁磁場(chǎng)與半圓磁場(chǎng)邊界交于Q點(diǎn)，如圖所示，

找出軌跡圓心，可以看出四邊形OO₁O₂Q四條邊等長(zhǎng)是平行四邊形，所以半徑O₂Q與OO₁平行．
所以從Q點(diǎn)出磁場(chǎng)速度與O₂Q垂直，即與x軸垂直，所以垂直進(jìn)入MN邊界．
進(jìn)入正交電磁場(chǎng)E、B₂中都有：qv₀B₂=Eq，故做直線運(yùn)動(dòng)．
答：（1）粒子初速度大小和有界半圓磁場(chǎng)的半徑為$\frac{mE}{q{B}_{1}{B}_{2}}$．
（2）若撤去磁場(chǎng)B₂，則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)射入電場(chǎng)的粒子從y軸出電場(chǎng)時(shí)的坐標(biāo)為（0，$\frac{mE}{q{B}_{2}}$（$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\sqrt{\frac{2}{{B}_{1}{B}_{2}}}$）．
（3）證明過(guò)程如上所述．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后平衡條件和牛頓第二定律列式分析求解；對(duì)于第三問(wèn)，關(guān)鍵明確題中所有從原點(diǎn)射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，離開B₁磁場(chǎng)時(shí)速度全部平行．